В круге радиуса корень из 114 проведены две перпендикулярные хорды, длины которых 20 и 16. Каково расстояние между их серединками?

Геометрия 8 класс Перпендикулярные хорды в круге геометрия 8 класс круг радиус перпендикулярные хорды расстояние между серединами задачи по геометрии Новый

Для решения этой задачи сначала давайте вспомним некоторые свойства кругов и хорд.

Пусть у нас есть круг с центром O и радиусом R, равным корень из 114. Мы проведем две перпендикулярные хорды AB и CD, длины которых равны 20 и 16 соответственно.

1. **Найдем расстояния от центра круга до каждой из хорд.**

Для этого воспользуемся формулой, которая связывает радиус круга, длину хорды и расстояние от центра до хорды:

Для хорды AB:

• Длина хорды AB = 20.
• Половина длины хорды AB = 10.
• Обозначим расстояние от центра до хорды AB как d1.
• По теореме Пифагора: R^2 = d1^2 + (половина длины хорды)^2.
• Подставляем значения: (корень из 114)^2 = d1^2 + 10^2.
• 114 = d1^2 + 100.
• Следовательно, d1^2 = 114 - 100 = 14.
• Таким образом, d1 = корень из 14.

Для хорды CD:

• Длина хорды CD = 16.
• Половина длины хорды CD = 8.
• Обозначим расстояние от центра до хорды CD как d2.
• По аналогичной формуле: R^2 = d2^2 + (половина длины хорды)^2.
• Подставляем значения: (корень из 114)^2 = d2^2 + 8^2.
• 114 = d2^2 + 64.
• Следовательно, d2^2 = 114 - 64 = 50.
• Таким образом, d2 = корень из 50.

2. **Теперь найдем расстояние между серединками хорд.**

Серединки хорд находятся на расстояниях d1 и d2 от центра круга, но в перпендикулярных направлениях. Поэтому расстояние между серединками хорд можно найти по формуле:

Расстояние = корень из (d1^2 + d2^2).

Подставляем значения:

• d1 = корень из 14, d2 = корень из 50.
• Расстояние = корень из (14 + 50) = корень из 64.
• Это равно 8.

Таким образом, расстояние между серединками хорд AB и CD равно 8.

Ответ: 8.