Чтобы найти расстояние между серединами двух перпендикулярных хорд в круге, следуем следующим шагам:

1. Определим радиус круга. В условии сказано, что радиус круга равен корню из 114. Обозначим его как R = √114.
2. Найдем расстояние от центра круга до каждой хорды. Для этого воспользуемся формулой, которая связывает длину хорды, радиус круга и расстояние от центра круга до хорды. Формула выглядит так:

   d = √(R² - (L/2)²),

   где d — расстояние от центра до хорды, R — радиус круга, L — длина хорды.

3. Рассчитаем расстояние до первой хорды длиной 20.
   • Длина первой хорды L1 = 20.
   • Подставим значения в формулу:
   • d1 = √(R² - (L1/2)²) = √(√114² - (20/2)²) = √(114 - 10²) = √(114 - 100) = √14.
4. Теперь рассчитаем расстояние до второй хорды длиной 16.
   • Длина второй хорды L2 = 16.
   • Подставим значения в формулу:
   • d2 = √(R² - (L2/2)²) = √(√114² - (16/2)²) = √(114 - 8²) = √(114 - 64) = √50.
5. Теперь мы знаем, что расстояния от центра круга до хорд равны:
   • d1 = √14 для первой хорды,
   • d2 = √50 для второй хорды.
6. Найдем расстояние между серединами хорд. Поскольку хорды перпендикулярны, расстояние между их серединами будет равно разности расстояний от центра до каждой хорды:

   D = |d1 - d2| = |√14 - √50|.

7. Вычислим это значение:
   • √14 ≈ 3.74,
   • √50 ≈ 7.07.
   • Теперь подставим: D ≈ |3.74 - 7.07| ≈ | -3.33| = 3.33.

Таким образом, расстояние между серединами двух перпендикулярных хорд составляет примерно 3.33.