В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K находится на середине ребра AB, точка L - на середине ребра AD, а точка M - на середине ребра AA1. Какой угол образуют точки L, M и K? Ответ дайте в градусах.

Геометрия 8 класс Углы и их измерение в пространстве угол между точками куб ABCDA1B1C1D1 середина ребра геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти угол, образуемый точками L, M и K в кубе ABCDA1B1C1D1, начнем с определения координат всех точек.

Пусть куб имеет длину ребра a. Тогда координаты вершин куба будут следующими:

• A (0, 0, 0)
• B (a, 0, 0)
• C (a, a, 0)
• D (0, a, 0)
• A1 (0, 0, a)
• B1 (a, 0, a)
• C1 (a, a, a)
• D1 (0, a, a)

Теперь найдем координаты точек K, L и M:

• Точка K - середина ребра AB: K = ((0 + a)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0, 0)
• Точка L - середина ребра AD: L = ((0 + 0)/2, (0 + a)/2, (0 + 0)/2) = (0, a/2, 0)
• Точка M - середина ребра AA1: M = ((0 + 0)/2, (0 + 0)/2, (0 + a)/2) = (0, 0, a/2)

Теперь у нас есть координаты точек:

• K (a/2, 0, 0)
• L (0, a/2, 0)
• M (0, 0, a/2)

Теперь найдем векторы KL и KM:

• Вектор KL = L - K = (0 - a/2, a/2 - 0, 0 - 0) = (-a/2, a/2, 0)
• Вектор KM = M - K = (0 - a/2, 0 - 0, a/2 - 0) = (-a/2, 0, a/2)

Теперь найдем угол между векторами KL и KM. Для этого используем формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

Где A · B - скалярное произведение векторов, |A| и |B| - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение:

• A · B = (-a/2) * (-a/2) + (a/2) * 0 + 0 * (a/2) = (a^2)/4

Теперь найдем длины векторов:

• |KL| = √((-a/2)^2 + (a/2)^2 + 0^2) = √(a^2/4 + a^2/4) = √(a^2/2) = (a/√2)
• |KM| = √((-a/2)^2 + 0^2 + (a/2)^2) = √(a^2/4 + a^2/4) = √(a^2/2) = (a/√2)

Теперь подставим все в формулу для cos(θ):

cos(θ) = ((a^2)/4) / ((a/√2) * (a/√2)) = ((a^2)/4) / (a^2/2) = (1/2)

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(1/2) = 60 градусов.

Ответ: угол, образуемый точками L, M и K, равен 60 градусам.