2025-02-25 23:26:30
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М находится на середине отрезка BC. Какой угол образуется между отрезком AM и отрезком DC1?
Геометрия 8 класс Углы и их свойства в пространстве геометрия 8 класс угол между отрезками куб ABCDA1B1C1D1 точка М середина отрезка BC отрезок AM отрезок DC1
2025-02-25 23:26:42
Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. Определим координаты вершин куба.
- Пусть куб имеет длину ребра a.
- Тогда координаты вершин будут следующими:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A1(0, 0, a)
- B1(a, 0, a)
- C1(a, a, a)
- D1(0, a, a)
2. Найдем координаты точки M.
- Точка M находится на середине отрезка BC. Поэтому координаты точки M будут:
- M((a + a)/2, (0 + a)/2, 0) = (a, a/2, 0)
3. Запишем векторы AM и DC1.
- Вектор AM = M - A = (a, a/2, 0) - (0, 0, 0) = (a, a/2, 0)
- Вектор DC1 = C1 - D = (a, a, a) - (0, a, 0) = (a, 0, a)
4. Найдем угол между векторами AM и DC1.
- Для нахождения угла между векторами используем формулу:
- cos(θ) = (AM • DC1) / (|AM| * |DC1|)
5. Вычислим скалярное произведение AM и DC1.
- AM • DC1 = (a, a/2, 0) • (a, 0, a) = a*a + (a/2)*0 + 0*a = a^2
6. Теперь найдем длины векторов AM и DC1.
- |AM| = √(a^2 + (a/2)^2 + 0^2) = √(a^2 + a^2/4) = √(5a^2/4) = (√5/2)a
- |DC1| = √(a^2 + 0^2 + a^2) = √(2a^2) = √2 * a
7. Подставим значения в формулу для cos(θ).
- cos(θ) = (a^2) / ((√5/2)a * (√2 * a)) = (a^2) / ((√10/2)a^2) = 2 / √10 = √10 / 5
8. Теперь найдем угол θ.
- θ = arccos(√10 / 5)
Таким образом, угол между отрезком AM и отрезком DC1 равен θ = arccos(√10 / 5).
