В квадрате ABCD выбрана точка P на стороне CD. Точка Q находится на стороне AD так, что отрезок BQ является биссектрисой угла PBA. Из точки P проведён перпендикуляр PH к прямой BQ. Как можно доказать, что длина отрезка BQ равна удвоенной длине отрезка PH? Дам 100 баллов

Геометрия 8 класс Биссектрисы и перпендикуляры в треугольниках геометрия квадрат ABCD точка P биссектрисы перпендикуляр длина отрезка доказательство угол PBA отрезок BQ отрезок PH Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Нам нужно доказать, что длина отрезка BQ равна удвоенной длине отрезка PH. Для этого мы будем использовать свойства биссектрисы и перпендикуляра.

1. Обозначим длины:
   • Обозначим длину отрезка PH как h.
   • Обозначим длину отрезка BQ как x.
2. Свойства биссектрисы:
   • По определению, биссектрисы угла делят его на два равных угла.
   • В нашем случае, угол PBA делится на два равных угла, и мы можем использовать это свойство для анализа треугольника PBA.
3. Рассмотрим треугольник PBA:
   • Угол PBA равен углу, который образует отрезок BQ с линией AB.
   • Поскольку PH перпендикулярен BQ, то треугольник PHA является прямоугольным.
4. Используем тригонометрию:
   • В треугольнике PBA у нас есть угол PBA и угол ABQ, которые равны.
   • Согласно свойству биссектрисы, можно записать соотношение: tan(угол PBA) = h / (x - h), где h - длина PH, а (x - h) - проекция отрезка BQ на сторону AB.
5. Упрощаем уравнение:
   • Из предыдущего соотношения можно выразить x через h:
   • x = 2h.

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка BQ равна удвоенной длине отрезка PH, то есть x = 2h. Это и требовалось доказать.