В окружность радиуса 10 вписан треугольник MNF, где угол M равен 80 градусов, а угол N равен 40 градусов. Биссектрисы углов M и N пересекают окружность в точках P и Q. Какова длина отрезка PQ?

Геометрия 8 класс Вписанные углы и биссектрисы в окружности геометрия 8 класс окружность радиус 10 треугольник MNF угол M 80 градусов угол N 40 градусов биссектрисы углов длина отрезка PQ Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа треугольника MNF, который вписан в окружность радиуса 10. У нас есть углы:

• Угол M = 80 градусов
• Угол N = 40 градусов

Сначала найдем угол F. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому:

Угол F = 180 - (Угол M + Угол N) = 180 - (80 + 40) = 60 градусов.

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• Угол M = 80 градусов
• Угол N = 40 градусов
• Угол F = 60 градусов

Теперь найдем углы, которые образуют биссектрисы углов M и N. Биссектрисы делят углы пополам:

• Угол MPQ = Угол M / 2 = 80 / 2 = 40 градусов
• Угол NQR = Угол N / 2 = 40 / 2 = 20 градусов

Таким образом, мы можем найти угол PQF, который равен:

Угол PQF = 180 - (Угол MPQ + Угол NQR) = 180 - (40 + 20) = 120 градусов.

Теперь у нас есть треугольник PQF, где мы знаем длину радиуса окружности (10) и угол PQF (120 градусов). Мы можем воспользоваться теоремой о длине хорды, которая выражается через радиус окружности и угол между радиусами:

Длина хорды (PQ) может быть найдена по формуле:

Длина PQ = 2 * R * sin(угол / 2),

где R - радиус окружности, угол - угол между радиусами, проведенными к концам хорды PQ.

В нашем случае:

Длина PQ = 2 * 10 * sin(120 / 2) = 2 * 10 * sin(60).

Значение sin(60) равно корень из 3 делить на 2. Подставляем:

Длина PQ = 20 * (корень из 3 / 2) = 10 * корень из 3.

Таким образом, длина отрезка PQ равна 10 * корень из 3.