В остроугольном треугольнике MNK проведены высоты MM1 и NN1. Как можно обосновать, что произведение отрезков M1K и NK равно произведению отрезков N1K и MK?

Геометрия 8 класс Высоты и свойства треугольников остроугольный треугольник высоты треугольника произведение отрезков обоснование теоремы геометрические свойства треугольника Новый

Чтобы обосновать равенство произведений отрезков M1K и NK и N1K и MK в остроугольном треугольнике MNK, воспользуемся свойствами высот и подобия треугольников. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Проведение высот: В треугольнике MNK проведены высоты MM1 и NN1. Это означает, что M1 и N1 - это основания высот, которые перпендикулярны сторонам NK и MK соответственно.
2. Свойства прямоугольных треугольников: В результате проведения высот мы образуем два прямоугольных треугольника: треугольник M1NK и треугольник N1MK. Эти треугольники являются прямоугольными, так как высоты перпендикулярны основаниям.
3. Сравнение треугольников: Обратите внимание, что треугольники M1NK и N1MK имеют общий угол при вершине K (угол K), а также оба содержат прямые углы (углы M1NK и N1MK). Это означает, что треугольники M1NK и N1MK подобны по критерию "угол-угол" (AA).
4. Применение свойства подобия: Из подобия треугольников M1NK и N1MK следует, что:
   • Отношение соответствующих сторон этих треугольников будет равно.
   • То есть, M1K / MK = NK / N1K.
5. Переписываем равенство: Переписываем полученное равенство:
   • M1K * N1K = NK * MK.

Таким образом, мы обосновали, что произведение отрезков M1K и NK равно произведению отрезков N1K и MK, используя свойства подобия треугольников и их отношение сторон. Это свойство является одним из ключевых в геометрии и помогает нам решать подобные задачи.