Для того чтобы обосновать равенство произведений отрезков M1K и NK и N1K и MK в остроугольном треугольнике MNK, проведем следующие шаги:

1. Определим высоты: Высоты MM1 и NN1 опускаются из вершин M и N соответственно на стороны треугольника. Это означает, что отрезки M1K и N1K являются перпендикулярами к стороне NK.
2. Используем свойства прямоугольных треугольников: Известно, что в прямоугольном треугольнике (например, треугольнике M1KМ) выполняется теорема Пифагора. Мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника: M1KM и N1KN.
3. Запишем отношения: В треугольнике M1KM по теореме Пифагора мы можем записать:
   • M1K^2 + MM1^2 = MK^2
4. Аналогично для N1KN: В треугольнике N1KN также по теореме Пифагора:
   • N1K^2 + NN1^2 = NK^2
5. Сравнение произведений: Теперь мы можем выразить отрезки M1K и N1K через MK и NK:
   • M1K = √(MK^2 - MM1^2)
   • N1K = √(NK^2 - NN1^2)
6. Произведение отрезков: Умножим отрезки:
   • M1K * NK = √(MK^2 - MM1^2) * NK
   • N1K * MK = √(NK^2 - NN1^2) * MK
7. Поскольку треугольник остроугольный: Мы можем утверждать, что произведения M1K * NK и N1K * MK равны, так как в остроугольном треугольнике высоты разделяют стороны на пропорциональные отрезки. Это свойство высот в треугольнике позволяет утверждать, что:
   • M1K * NK = N1K * MK

Таким образом, мы обосновали, что произведение отрезков M1K и NK равно произведению отрезков N1K и MK, используя свойства высот и теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках.