В параллелограмме ABCD E — середина AB, F — середина AD, BF и DE пересекаются в точке K. Какую часть параллелограмма составляет четырёхугольник AEKF?

Геометрия 8 класс Свойства параллелограмма. точка пересечения. Новый

Ответ:

Четырёхугольник AEKF является трапецией.

Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABF и DCE.

AE = EB (по условию), AF = FD (по условию) и угол AFB равен углу CDE как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники ABF и DCE равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = CD и BF = DE.

Отрезки KE и AF являются средними линиями треугольников ABC и ADC соответственно. По свойству средней линии KE || BC || AD || AF. Противоположные стороны четырёхугольника AEKF попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

Поскольку KE — средняя линия треугольника ABC, то KE = 1/2 BC. Аналогично AF = 1/2 AD. Тогда площадь трапеции AEKF составляет половину площади параллелограмма ABCD.

Ответ: Четырёхугольник AEKF составляет 1/2 часть параллелограмма ABCD.