В параллелограмме ABCD, где E - середина BC, AB = 5 см, угол EAD = 30 градусов, угол ABC = 100 градусов. Какова площадь параллелограмма и радиус описанной около треугольника ABE окружности?

Геометрия 8 класс Параллелограммы и площади фигур параллелограмм ABCD середина BC площадь параллелограмма радиус окружности треугольник abe угол EAD угол ABC геометрия 8 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем длину стороны AD.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, следовательно, AD = BC. Поскольку угол ABC равен 100 градусов, угол DAB будет равен 80 градусов (так как сумма углов в параллелограмме равна 360 градусам, а углы противоположны). Используем закон синусов в треугольнике ABD:

• AD / sin(100) = AB / sin(80)
• AD = AB * (sin(100) / sin(80))

Подставляем значения:

• AD = 5 * (sin(100) / sin(80))

Теперь вычислим значения синусов:

• sin(100) ≈ 0.9848
• sin(80) ≈ 0.9848

Таким образом, AD ≈ 5 см (поскольку синусы практически равны).

Шаг 2: Найдем площадь параллелограмма ABCD.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

• Площадь = основание * высота

В нашем случае основание - это сторона AB, а высота - это высота от точки D до линии AB. Чтобы найти высоту, используем угол EAD:

• h = AD * sin(30) = AD * 0.5

Теперь подставим значение AD:

• h = 5 * 0.5 = 2.5 см

Теперь можем найти площадь:

• Площадь = AB * h = 5 * 2.5 = 12.5 см²

Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности треугольника ABE.

Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

• R = (abc) / (4 * S),

где a, b, c - стороны треугольника ABE, а S - его площадь.

Стороны треугольника ABE:

• AB = 5 см
• AE = AD / 2 = 5 / 2 = 2.5 см (так как E - середина BC)
• BE можно найти через закон косинусов:

Сначала найдем угол ABE:

• Угол ABE = 180 - (угол EAD + угол ABC) = 180 - (30 + 100) = 50 градусов

Теперь используем закон косинусов:

• BE² = AB² + AE² - 2 * AB * AE * cos(50)

Подставляем значения:

• BE² = 5² + 2.5² - 2 * 5 * 2.5 * cos(50)

Теперь вычислим значение:

• BE² = 25 + 6.25 - 25 * cos(50) ≈ 25 + 6.25 - 25 * 0.6428
• BE² ≈ 25 + 6.25 - 16.07 ≈ 15.18
• BE ≈ √15.18 ≈ 3.9 см

Теперь найдем площадь S треугольника ABE:

• S = 0.5 * AB * AE * sin(ABE)
• S = 0.5 * 5 * 2.5 * sin(50)

Подставляем значения:

• S ≈ 0.5 * 5 * 2.5 * 0.7660 ≈ 4.79 см²

Теперь подставим значения a, b, c и S в формулу для R:

• R = (5 * 2.5 * 3.9) / (4 * 4.79) ≈ 0.65 см

Ответ:

• Площадь параллелограмма ABCD = 12.5 см²
• Радиус описанной окружности треугольника ABE ≈ 0.65 см