2025-08-30 15:46:53
В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой. На гипотенузе АС отмечены точки М и Н так, что АМ:МН:НС=3:2:2. Через точки М и Н проведены прямые, параллельные АВ и пересекающие сторону ВС в точках Т и К соответственно. Каково отношение площадей четырёхугольника АВТМ и НКС?
Геометрия 8 класс Тематика: Площадь фигур в прямоугольном треугольнике прямоугольный треугольник угол B гипотенуза AC точки M и N отношение площадей четырехугольник ABTM четырехугольник NKC геометрия 8 класс задачи по геометрии параллельные прямые
2025-08-30 15:47:02
Для решения задачи начнем с того, что обозначим длины отрезков на гипотенузе АС. Пусть длина гипотенузы АС равна 7x, так как у нас есть отношение 3:2:2, которое в сумме дает 7.
- АМ = 3x
- МН = 2x
- НС = 2x
Теперь мы можем определить, где находятся точки М и Н на гипотенузе АС:
- Точка М делит отрезок АС на 3x и 4x (где 4x = 2x + 2x).
- Точка Н делит отрезок АС на 5x (где 5x = 3x + 2x) и 2x.
Теперь проведем параллельные линии через точки М и Н. Параллельные линии к АВ, проведенные через точки М и Н, пересекают сторону ВС в точках Т и К соответственно.
Так как треугольник АВС является прямоугольным, то по свойству подобных треугольников, отношение площадей четырехугольников АВТМ и НКС будет равно квадрату отношения соответствующих оснований (АМ и НС), которые являются отрезками на гипотенузе АС.
Теперь найдем отношение оснований:
- Основание АМ = 3x
- Основание НС = 2x
Отношение оснований:
АМ:НС = 3x:2x = 3:2.
Теперь, чтобы найти отношение площадей четырехугольников, возведем это отношение в квадрат:
(3:2)² = 9:4.
Таким образом, отношение площадей четырехугольников АВТМ и НКС равно 9:4.
Ответ: 9:4.