В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 5. Если уменьшить меньший катет на 8 и увеличить больший катет на 4, то получится треугольник, у которого гипотенуза равна гипотенузе первого треугольника. Как можно найти периметры этих треугольников?

Геометрия 8 класс Проблемы с прямоугольными треугольниками прямоугольный треугольник катеты гипотенуза периметр треугольника задачи по геометрии решение задач свойства треугольников увеличение и уменьшение сторон Новый

Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть меньший катет равен x, тогда больший катет будет равен x + 5.

Теперь найдем гипотенузу первого треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза c вычисляется по формуле:

• c = √(x² + (x + 5)²)

Раскроем скобки:

• c = √(x² + (x² + 10x + 25))
• c = √(2x² + 10x + 25)

Теперь перейдем ко второму треугольнику. В нем меньший катет уменьшен на 8, а больший катет увеличен на 4. Таким образом, катеты второго треугольника будут:

• Меньший катет: x - 8
• Больший катет: (x + 5) + 4 = x + 9

Теперь найдем гипотенузу второго треугольника:

• c' = √((x - 8)² + (x + 9)²)

Раскроем скобки:

• c' = √((x² - 16x + 64) + (x² + 18x + 81))
• c' = √(2x² + 2x + 145)

По условию задачи гипотенузы обоих треугольников равны, поэтому мы можем приравнять их:

• √(2x² + 10x + 25) = √(2x² + 2x + 145)

Теперь избавимся от квадратных корней, возведя обе стороны в квадрат:

• 2x² + 10x + 25 = 2x² + 2x + 145

Упростим уравнение, вычитая 2x² из обеих сторон:

• 10x + 25 = 2x + 145

Теперь перенесем все члены с x в одну сторону, а константы в другую:

• 10x - 2x = 145 - 25
• 8x = 120
• x = 15

Теперь, зная x, можем найти длины катетов:

• Меньший катет: x = 15
• Больший катет: x + 5 = 20

Теперь найдем периметр первого треугольника:

• Гипотенуза: c = √(15² + 20²) = √(225 + 400) = √625 = 25
• Периметр: P = x + (x + 5) + c = 15 + 20 + 25 = 60

Теперь найдем периметр второго треугольника:

• Меньший катет: x - 8 = 15 - 8 = 7
• Больший катет: x + 9 = 15 + 9 = 24
• Гипотенуза: c' = 25 (по условию задачи)
• Периметр: P' = (x - 8) + (x + 9) + c' = 7 + 24 + 25 = 56

Таким образом, периметры треугольников составляют:

• Периметр первого треугольника: 60
• Периметр второго треугольника: 56