2026-03-24 15:41:46
В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите острые углы этого треугольника.
Геометрия 8 класс Биссектриса и высота треугольника Новый
2026-03-24 15:42:58
Обозначим треугольник ABC с прямым углом при C. Пусть углы при вершинах A и B — соответственно x и 90°−x (они острые).
- Проведём из вершины C высоту CH на гипотенузу AB и биссектрису CK угла C. Биссектриса угла 90° делит его пополам, значит угол между CK и сторонами CA и CB равен 45°.
- Угол между высотой CH и стороной CA равен 90° минус угол при A, то есть 90°−x. Но 90°−x = угол при B, поэтому угол между CH и CA равен B = 90°−x.
- Искомый угол между биссектрисой CK и высотой CH равен модулю разности углов, которые они образуют с CA, то есть |45° − B|. По условию это равно 20°: |45° − B| = 20°.
- Отсюда B = 45° ± 20°, т.е. B = 25° или B = 65°. Тогда соответствующие значения для A: A = 65° или A = 25°.
Ответ: острые углы треугольника равны 25° и 65°.