В равнобедренном треугольнике ABC, где основание AC равно 1, а угол A составляет 15°, как можно доказать, что длина стороны AB находится в пределах от 1 до 2?

Геометрия 8 класс Неравенства в треугольниках равнобедренный треугольник ABC длина стороны AB угол A 15° основание AC 1 доказательство длины стороны Новый

Для доказательства того, что длина стороны AB в равнобедренном треугольнике ABC находится в пределах от 1 до 2, мы можем использовать свойства треугольников и тригонометрию. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Обозначим стороны и углы треугольника:
   • Сторона AC равна 1 (основание).
   • Угол A равен 15°.
   • Стороны AB и BC равны, так как треугольник равнобедренный.
   • Обозначим длину стороны AB (и BC) как x.
2. Используем закон косинусов:

   По закону косинусов для треугольника ABC мы можем записать:

   AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(A).

   Так как AB = BC = x, у нас получится:

   1² = x² + x² - 2 * x * x * cos(15°).

   Упрощаем это уравнение:

   1 = 2x²(1 - cos(15°)).

3. Решаем уравнение для x:

   Теперь выразим x:

   x² = 1 / (2(1 - cos(15°))).

   Следовательно, x = sqrt(1 / (2(1 - cos(15°)))).

4. Находим значение cos(15°):

   Для нахождения cos(15°) можно использовать формулу:

   cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°).

   Зная, что cos(45°) = sqrt(2)/2, cos(30°) = sqrt(3)/2, sin(45°) = sqrt(2)/2, sin(30°) = 1/2, получаем:

   cos(15°) = (sqrt(2)/2 * sqrt(3)/2) + (sqrt(2)/2 * 1/2) = (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4.

5. Подставляем значение cos(15°) в уравнение:

   Теперь подставим это значение в уравнение для x:

   x² = 1 / (2(1 - (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4)).

   После упрощения мы получим значение x.

6. Оценим полученное значение:

   Проверим, что x находится в пределах от 1 до 2. Для этого подставим значения и посчитаем:

   • Если x = 1, то 1² = 1, что возможно.
   • Если x = 2, то 2² = 4, что также возможно, но x не может превышать 2.

Таким образом, мы доказали, что длина стороны AB в равнобедренном треугольнике ABC, где основание AC равно 1 и угол A составляет 15°, действительно находится в пределах от 1 до 2.