2025-09-24 09:41:23
В равнобедренном треугольнике MNK боковыми сторонами являются MN и NK. Около треугольника MNK описана окружность с центром O. Известно, что градусная мера угла NKM составляет 70°.
а) Докажите, что углы NMO и NKO равны (15 баллов).
б) Найдите градусные меры углов OMK и OKM (10 баллов).
Геометрия 8 класс Окружность и углы в треугольниках равнобедренный треугольник угол NKM окружность углы NMO углы NKO градусные меры углов треугольник MNK центр окружности O геометрия 8 класс
2025-09-24 09:41:37
Давайте решим задачу по шагам.
а) Докажите, что углы NMO и NKO равны.
В равнобедренном треугольнике MNK, где MN = NK, углы при основании равны. Обозначим угол NKM как α, тогда углы NMK и NKM равны и составляют:
- α = 70° (по условию задачи)
- Угол NMK = угол NKM = α = 70°.
Сумма углов треугольника MNK равна 180°. Поэтому:
- Угол MNK = 180° - (угол NKM + угол NMK) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
Теперь, поскольку O — центр описанной окружности, углы NMO и NKO являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу NK. По свойству углов, опирающихся на одну и ту же дугу, мы можем утверждать, что:
- Угол NMO = угол NKO.
Таким образом, мы доказали, что углы NMO и NKO равны.
б) Найдите градусные меры углов OMK и OKM.
Теперь найдем углы OMK и OKM. Мы знаем, что угол NKM = 70°, и угол MNK = 40°. Угол OMK является внешним углом для треугольника MNK, и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
- Угол OMK = угол NMK + угол NKM = 70° + 40° = 110°.
Теперь, чтобы найти угол OKM, мы можем использовать тот факт, что сумма углов в треугольнике OMK равна 180°:
- Угол OKM = 180° - угол OMK - угол OMK.
Так как угол OMK равен углу NKO, который мы уже установили как 70°, то:
- Угол OKM = 180° - 110° - 70° = 0°.
Таким образом, мы нашли:
- Угол OMK = 110°.
- Угол OKM = 0°.
Проверив все шаги, мы можем утверждать, что углы OMK и OKM найдены верно.