В равнобедренном треугольнике высота, проведенная на основание, равна 10, а радиус вписанной окружности составляет 4. Какой радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника?
Геометрия 8 класс Окружности в треугольниках равнобедренный треугольник высота треугольника радиус вписанной окружности радиус описанной окружности задачи по геометрии 8 класс Новый
Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, нам нужно использовать несколько формул и свойств, связанных с треугольниками.
Давайте обозначим наш равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC, а BC – основание. Высота, проведенная из вершины A на основание BC, делит его пополам и обозначим точку пересечения высоты с основанием как D.
Итак, у нас есть следующие данные:
Сначала найдем площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно выразить через высоту и основание:
Площадь S = (1/2) * основание * высота. Поскольку высота AD делит основание BC пополам, обозначим половину основания как x. Тогда основание BC = 2x.
Следовательно, площадь S будет равна:
S = (1/2) * (2x) * 10 = 10x.
Теперь мы можем выразить площадь треугольника через радиус вписанной окружности. Площадь S также равна:
S = r * p,
где p – полупериметр треугольника.
Полупериметр p равен (AB + AC + BC) / 2. Поскольку AB = AC, обозначим их как a, тогда:
p = (2a + 2x) / 2 = a + x.
Теперь подставим это в формулу для площади:
S = r * p = 4 * (a + x).
Сравнивая два выражения для площади, мы имеем:
10x = 4(a + x).
Раскроем скобки:
10x = 4a + 4x.
Теперь перенесем все, что связано с x, в одну сторону:
10x - 4x = 4a.
Это дает нам:
6x = 4a,
или
x = (2/3)a.
Теперь найдем сторону a. Мы знаем, что высота AD делит основание BC пополам, и мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2.
Подставим известные значения:
a^2 = 10^2 + x^2.
Теперь подставим x = (2/3)a:
a^2 = 100 + ((2/3)a)^2.
Это дает:
a^2 = 100 + (4/9)a^2.
Переносим (4/9)a^2 влево:
(1 - 4/9)a^2 = 100.
Это можно упростить:
(5/9)a^2 = 100.
Теперь умножим обе стороны на (9/5):
a^2 = 100 * (9/5) = 180.
Таким образом, a = √180 = 6√5.
Теперь мы можем найти радиус описанной окружности R. Формула для радиуса описанной окружности равна:
R = (abc) / (4S),
где a, b и c – стороны треугольника, а S – его площадь.
У нас есть a = 6√5, b = 6√5 и c = 2x = 2 * (2/3)a = (4/3)a = 8√5/3.
Теперь найдем площадь S:
S = 10x = 10 * (2/3)(6√5) = 40√5.
Теперь подставим все значения в формулу для R:
R = (6√5 * 6√5 * 8√5/3) / (4 * 40√5).
Упрощаем:
R = (288 * 5) / (160√5) = (1440) / (160√5) = 9 / √5.
Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен 9/√5.
Ответ: радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, равен 9/√5.