В равнобедренном треугольнике высота, проведенная на основание, равна 10, а радиус вписанной окружности составляет 4. Какой радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника?

Геометрия 8 класс Окружности в треугольниках равнобедренный треугольник высота треугольника радиус вписанной окружности радиус описанной окружности задачи по геометрии 8 класс Новый

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, нам нужно использовать несколько формул и свойств, связанных с треугольниками.

Давайте обозначим наш равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC, а BC – основание. Высота, проведенная из вершины A на основание BC, делит его пополам и обозначим точку пересечения высоты с основанием как D.

Итак, у нас есть следующие данные:

• Высота AD = 10
• Радиус вписанной окружности r = 4

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно выразить через высоту и основание:

Площадь S = (1/2) * основание * высота. Поскольку высота AD делит основание BC пополам, обозначим половину основания как x. Тогда основание BC = 2x.

Следовательно, площадь S будет равна:

S = (1/2) * (2x) * 10 = 10x.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через радиус вписанной окружности. Площадь S также равна:

S = r * p,

где p – полупериметр треугольника.

Полупериметр p равен (AB + AC + BC) / 2. Поскольку AB = AC, обозначим их как a, тогда:

p = (2a + 2x) / 2 = a + x.

Теперь подставим это в формулу для площади:

S = r * p = 4 * (a + x).

Сравнивая два выражения для площади, мы имеем:

10x = 4(a + x).

Раскроем скобки:

10x = 4a + 4x.

Теперь перенесем все, что связано с x, в одну сторону:

10x - 4x = 4a.

Это дает нам:

6x = 4a,

или

x = (2/3)a.

Теперь найдем сторону a. Мы знаем, что высота AD делит основание BC пополам, и мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2.

Подставим известные значения:

a^2 = 10^2 + x^2.

Теперь подставим x = (2/3)a:

a^2 = 100 + ((2/3)a)^2.

Это дает:

a^2 = 100 + (4/9)a^2.

Переносим (4/9)a^2 влево:

(1 - 4/9)a^2 = 100.

Это можно упростить:

(5/9)a^2 = 100.

Теперь умножим обе стороны на (9/5):

a^2 = 100 * (9/5) = 180.

Таким образом, a = √180 = 6√5.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности R. Формула для радиуса описанной окружности равна:

R = (abc) / (4S),

где a, b и c – стороны треугольника, а S – его площадь.

У нас есть a = 6√5, b = 6√5 и c = 2x = 2 * (2/3)a = (4/3)a = 8√5/3.

Теперь найдем площадь S:

S = 10x = 10 * (2/3)(6√5) = 40√5.

Теперь подставим все значения в формулу для R:

R = (6√5 * 6√5 * 8√5/3) / (4 * 40√5).

Упрощаем:

R = (288 * 5) / (160√5) = (1440) / (160√5) = 9 / √5.

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен 9/√5.

Ответ: радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, равен 9/√5.