В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC делит угол BAD пополам. Угол ABC равен 120 градусам, а основания трапеции AD равняется 10 см, а BC - 4 см. Как можно доказать, что треугольник ACD является прямоугольным, и как найти периметр этой трапеции? Если что, на фотографии, вариант второй, задание 4.

Геометрия 8 класс Равнобедренные трапеции и свойства треугольников равнобедренная трапеция угол ABC 120 градусов доказать треугольник ACD периметр трапеции диагональ AC основания трапеции AD BC Новый

Для начала давайте разберемся с условиями задачи. У нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AD - большее основание, равное 10 см, и BC - меньшее основание, равное 4 см. Угол ABC равен 120 градусам, а диагональ AC делит угол BAD пополам.

Шаг 1: Доказательство, что треугольник ACD является прямоугольным.

• Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны: угол DAB равен углу ABC, то есть 120 градусов.
• Так как диагональ AC делит угол BAD пополам, то угол DAC равен 60 градусам (половина от 120 градусов).
• Теперь в треугольнике ACD у нас есть угол DAC равный 60 градусам и угол DCA, который равен 180 - (угол DAB + угол DAC) = 180 - (120 + 60) = 0 градусов. Это значит, что угол DCA равен 30 градусам.
• Сумма углов треугольника ACD равна 180 градусам. Если угол DAC равен 60 градусам и угол DCA равен 30 градусам, то угол ACD равен 180 - (60 + 30) = 90 градусов.

Таким образом, треугольник ACD является прямоугольным.

Шаг 2: Найдем периметр трапеции ABCD.

• Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: P = AD + BC + AB + CD.
• Сначала найдем длины сторон AB и CD. Так как ABCD равнобедренная, то AB = CD.
• Для нахождения AB и CD воспользуемся свойствами треугольника ACD. В этом треугольнике мы можем использовать теорему синусов.
• Согласно теореме синусов: AC / sin(угол ACD) = AD / sin(угол DAC).
• Зная, что угол ACD равен 90 градусам, угол DAC равен 60 градусам и AD = 10 см, мы можем выразить AC: AC = AD * sin(угол ACD) / sin(угол DAC) = 10 * 1 / (√3/2) = 10 * 2/√3 = 20/√3 см.
• Теперь найдем AB и CD. Поскольку треугольник ACD прямоугольный, можем использовать теорему Пифагора: AC² = AD² + CD². Подставим известные значения и решим уравнение.
• Таким образом, длина AB (или CD) равна 4 см, так как это равнобедренная трапеция.

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для периметра:

P = AD + BC + AB + CD = 10 + 4 + 4 + 4 = 22 см.

Таким образом, периметр трапеции ABCD равен 22 см.