В равнобедренной трапеции косинус острого угла равен 1/4, а основания равны 5 и 9. Как можно определить длину боковой стороны этой трапеции?

Геометрия 8 класс "Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция косинус острого угла длина боковой стороны основания трапеции геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренной трапеции, где косинус острого угла равен 1/4, а основания равны 5 и 9, следуем следующим шагам:

1. Обозначим известные данные:
   • Длина меньшего основания (a) = 5
   • Длина большего основания (b) = 9
   • Косинус острого угла (cos α) = 1/4
2. Найдем длину боковой стороны (c):

   В равнобедренной трапеции высота h и боковая сторона c связаны с углом α следующим образом:

   • h = c * sin α
   • cos α = 1/4, значит, sin α можно найти по формуле: sin² α + cos² α = 1.

   Подставим значение косинуса:

   • sin² α + (1/4)² = 1
   • sin² α + 1/16 = 1
   • sin² α = 1 - 1/16 = 15/16
   • sin α = √(15/16) = √15 / 4.
3. Теперь выразим высоту:

   Подставим значение sin α в формулу для высоты:

   • h = c * (√15 / 4).
4. Определим высоту через основания:

   В равнобедренной трапеции высота также может быть выражена через разницу оснований:

   Разница оснований (b - a) = 9 - 5 = 4.

   Для нахождения высоты h можно использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной разности оснований и боковой стороной:

   • Половина разности оснований = (b - a) / 2 = 4 / 2 = 2.

   Теперь можем использовать теорему Пифагора:

   • c² = h² + 2².
5. Подставим h:

   Теперь подставим h в уравнение:

   • c² = (c * (√15 / 4))² + 2².
   • c² = (c² * 15 / 16) + 4.

   Упрощаем это уравнение:

   • c² - (15/16)c² = 4.
   • (1 - 15/16)c² = 4.
   • (1/16)c² = 4.
   • c² = 4 * 16 = 64.
   • c = √64 = 8.

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна 8.