В ромбе, диагональ которого делит его на два равносторонних треугольника, вписан круг. Как можно вычислить площадь этого круга, если длина стороны ромба равна 4?

Геометрия 8 класс Площадь круга в фигурах с вписанными кругами ромб диагональ равносторонний треугольник вписанный круг площадь круга длина стороны ромба геометрия 8 класс Новый

Чтобы вычислить площадь круга, вписанного в ромб, нам нужно сначала выяснить радиус этого круга. Для этого давайте разберем несколько шагов.

1. Определение свойств ромба: Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. В данном случае длина стороны ромба равна 4.
2. Свойства диагоналей: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Если одна из диагоналей делит ромб на два равносторонних треугольника, это значит, что она равна высоте этих треугольников.
3. Находим длины диагоналей: Обозначим диагонали как d1 и d2. Поскольку ромб делится на два равносторонних треугольника, можно использовать теорему Пифагора. В равностороннем треугольнике, где все стороны равны 4, высота h (которая является половиной одной из диагоналей) может быть найдена по формуле:
   • h = (sqrt(3)/2) * a, где a — длина стороны треугольника.
   • Подставляем a = 4: h = (sqrt(3)/2) * 4 = 2sqrt(3).
4. Находим радиус вписанного круга: Радиус r круга, вписанного в равносторонний треугольник, можно найти по формуле:
   • r = h / 3, где h — высота треугольника.
   • Подставляем h = 2sqrt(3): r = (2sqrt(3)) / 3.
5. Находим площадь круга: Площадь круга S можно вычислить по формуле:
   • S = π * r^2.
   • Подставляем r = (2sqrt(3)) / 3: S = π * ((2sqrt(3)) / 3)^2 = π * (4 * 3) / 9 = (12π) / 9 = (4π) / 3.

Таким образом, площадь круга, вписанного в ромб с длиной стороны 4, равна (4π) / 3.