В трапеции ABCD (AD||BC) диагонали AC и BD пересекаются в точке P.

1. Докажите, что треугольники APD и CPB подобны.
2. Найдите площадь треугольника CPB, если известно, что AP:PC=3:2, а площадь треугольника APD равна 117.

Геометрия 8 класс Подобие треугольников и площади треугольников геометрия 8 класс трапеция ABCD диагонали пересечение треугольники подобие APD CPB доказательство площадь отношение AP:PC 3:2 площадь треугольника 117 Новый

Давайте разберемся с задачей!

Чтобы доказать, что треугольники APD и CPB подобны, нам нужно использовать свойства трапеции и подобия треугольников.

• В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны (AD || BC).
• У нас есть диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке P.
• Из-за того, что AD и BC параллельны, углы APD и CPB будут равны (угол APD = угол CPB), так как они являются углами при пересечении параллельных линий с секущими).
• Также, углы APB и CPD будут равны (угол APB = угол CPD) по той же причине.

Таким образом, по двум углам мы можем заключить, что треугольники APD и CPB подобны (по критерию подобия треугольников: угол-угол).

Теперь найдем площадь треугольника CPB!

Мы знаем, что:

• AP:PC = 3:2.
• Сумма частей = 3 + 2 = 5.

Площадь треугольника APD равна 117. Поскольку треугольники подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон.

Площадь треугольника CPB можно найти следующим образом:

• Площадь треугольника APD относится к площади треугольника CPB как (AP/PC)^2.
• Так как AP:PC = 3:2, то (AP/PC)^2 = (3/2)^2 = 9/4.

Обозначим площадь треугольника CPB как S. Тогда у нас есть:

117/S = 9/4.

Перепишем это уравнение:

117 * 4 = 9 * S.

468 = 9S.

Теперь найдем S:

S = 468 / 9 = 52.

Итак, площадь треугольника CPB равна 52!

Вот такая увлекательная задача! Надеюсь, вам было интересно!