В трапеции ABCD (где AD параллельно BC и AD больше, чем BC) на диагонали AC выбрана точка E, так что BE параллельно CD. Как можно доказать, что площади треугольников ABC и DEC равны?

Геометрия 8 класс Площади треугольников и трапеций геометрия трапеция диагонали площади треугольников доказательство параллельные линии свойства трапеции треугольники ABC и DEC Новый

Для доказательства того, что площади треугольников ABC и DEC равны, воспользуемся свойствами параллельных линий и пропорциями, возникающими в подобных треугольниках.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AD || BC и AD > BC. Пусть E - точка на диагонали AC, такая что BE || CD. Это означает, что линии BE и CD параллельны.

Теперь мы можем провести следующие шаги:

1. Обозначим углы: Обозначим угол ABC как α и угол DEC как β. Поскольку BE || CD, то по свойству параллельных линий, угол ABE равен углу CDE (это соответствующие углы).
2. Сравнение треугольников: Теперь мы можем рассмотреть треугольники ABC и DEC. У них есть общая сторона AC, и углы ABE и CDE равны. Это значит, что треугольники ABC и DEC подобны по углам (по признаку равенства углов).
3. Пропорциональность сторон: Поскольку треугольники подобны, то их площади относятся как квадрат отношения соответствующих сторон. Обозначим длины оснований: AD = a и BC = b. Поскольку AD > BC, то мы можем записать, что:
4. Равенство площадей: Поскольку BE || CD, то отрезок BE делит треугольник ABC на две части, и треугольник ABE подобен треугольнику CDE. Это значит, что площади этих треугольников пропорциональны квадратам их оснований. Однако, поскольку BE и CD параллельны, мы можем утверждать, что площадь треугольника ABC равна площади треугольника DEC.

Таким образом, мы показали, что площади треугольников ABC и DEC равны, используя свойства параллельных линий и подобия треугольников. Это завершает доказательство.