В трапеции ABCD основание BC равно 8, AD равно 5, диагональ AC равна 13, а угол ACB составляет 60°. Как можно найти длину диагонали BD?

Геометрия 8 класс Длина диагоналей трапеции длина диагонали BD трапеция ABCD основание BC угол ACB диагональ AC геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длину диагонали BD в трапеции ABCD, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства и теоремы. Давайте рассмотрим шаги решения этой задачи.

1. Построение: Начнем с построения трапеции ABCD, где BC - нижнее основание, AD - верхнее основание, и мы знаем длины BC = 8, AD = 5, AC = 13 и угол ACB = 60°.
2. Нахождение длины AB: Для этого мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике ACB. По теореме косинусов:

   AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(угол ACB)

   Подставляем известные значения:

   • AC = 13
   • BC = 8
   • cos(60°) = 0.5

   Получаем уравнение:

   13² = AB² + 8² - 2 * AB * 8 * 0.5

   169 = AB² + 64 - 8AB

   Переписываем уравнение:

   AB² - 8AB + 64 - 169 = 0

   AB² - 8AB - 105 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта D:

   D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * (-105) = 64 + 420 = 484

   Корни уравнения:

   AB = (8 ± √484) / 2 = (8 ± 22) / 2

   Получаем два значения: AB = 15 и AB = -7 (отрицательное значение не подходит).

   Итак, длина AB = 15.

3. Нахождение длины BD: Теперь у нас есть треугольник ABD, в котором мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины BD. В этом треугольнике:

   BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos(угол BAD)

   Для нахождения угла BAD, мы можем использовать свойства трапеции и то, что угол ACB = 60°.

   Углы ACB и BAD являются смежными, следовательно:

   угол BAD = 180° - угол ACB = 180° - 60° = 120°.

   Теперь подставим известные значения:

   • AB = 15
   • AD = 5
   • cos(120°) = -0.5

   Подставляем в формулу:

   BD² = 15² + 5² - 2 * 15 * 5 * (-0.5)

   BD² = 225 + 25 + 75 = 325

   Теперь находим BD:

   BD = √325 = 5√13.

Таким образом, длина диагонали BD равна 5√13.