Давайте решим задачу поэтапно.

1. Определим длину отрезка AC.

В треугольнике ABC у нас есть следующие данные:

• AB = BC (треугольник равнобедренный),
• угол A = 30 градусов,
• отрезок BD перпендикулярен AC и имеет длину 6 см.

Так как BD перпендикулярен AC, мы можем рассмотреть треугольник ABD. В этом треугольнике:

• угол A = 30 градусов,
• BD = 6 см (высота),
• AB = BC = x (где x - длина сторон).

Используем тригонометрические функции, чтобы найти длину AC. В треугольнике ABD:

• Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BD) к гипотенузе (AB):

Синус 30 градусов равен 0.5, поэтому:

sin(30) = BD / AB => 0.5 = 6 / x.

Из этого уравнения мы можем выразить x:

x = 6 / 0.5 = 12 см.

Теперь мы можем найти длину AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ABD:

• AB^2 = AD^2 + BD^2.

Где AD - это половина длины AC, так как D - проекция точки B на сторону AC:

12^2 = (AC/2)^2 + 6^2.

144 = (AC^2 / 4) + 36.

Теперь решим уравнение:

144 - 36 = AC^2 / 4.

108 = AC^2 / 4.

AC^2 = 432.

AC = sqrt(432) = 12 * sqrt(3) см.

Теперь найдем, между какими целыми числами находится AC:

sqrt(432) = sqrt(144 * 3) = 12 * sqrt(3).

Значение sqrt(3) примерно равно 1.732, поэтому:

AC примерно равно 12 * 1.732 = 20.784 см.

Таким образом, AC находится между 20 и 21 см.

2. Найдем сумму длин отрезков, соединяющих точку D с серединами сторон AB и BC.

Обозначим M - середина AB и N - середина BC. Длины отрезков DM и DN можно найти следующим образом:

• DM = AD (половина AC) = AC / 2 = 12 * sqrt(3) / 2 = 6 * sqrt(3),
• DN = BD = 6 см.

Теперь найдем сумму:

DM + DN = 6 * sqrt(3) + 6.

Приблизительно 6 * 1.732 + 6 = 10.392 + 6 = 16.392 см.

Таким образом, сумма длин отрезков DM и DN составляет примерно 16.392 см.