Давайте разберем, как найти длину отрезка BM в треугольнике ABC, где AB = BC = 10 и AC = 8. В этом треугольнике окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AB в точке M.

1. Определим свойства треугольника. У нас есть равнобедренный треугольник ABC с основаниями AB и BC, которые равны 10. Сторона AC равна 8. Мы можем заметить, что этот треугольник имеет две равные стороны, что означает, что углы при вершинах A и C равны.

2. Применение биссектрисы. Вписанная окружность касается стороны AB в точке M. Чтобы найти длину отрезка BM, мы будем использовать свойства биссектрисы. Биссектрисы углов в треугольнике делят противолежащую сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам. В нашем случае биссектрису угла B можно провести до точки M.

3. Рассчитаем длины отрезков. Поскольку стороны AB и BC равны, мы можем сказать, что отрезки AM и MB также будут равны. Обозначим длину отрезка AM через x. Тогда длина отрезка BM будет равна 10 - x, так как вся длина AB равна 10.

4. Используем формулу для нахождения радиуса вписанной окружности. Впереди мы знаем, что радиус r вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр. Однако в данной задаче мы можем обойтись без этого, используя свойства равнобедренного треугольника.

5. Находим AM. Используя свойства треугольника, мы можем заметить, что высота, проведенная из точки A на сторону BC, делит ее пополам. В этом случае высота будет равна 4, и мы можем сказать, что AM = AH = 4, где H - основание высоты.

6. Теперь находим BM. Теперь, когда мы знаем, что AM = 4, мы можем найти длину отрезка BM: BM = AB - AM = 10 - 4 = 6.

Таким образом, длина отрезка BM равна 6.