2025-09-13 21:57:49
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Вписанная окружность треугольника AMB касается стороны AB в точке N, а вписанная окружность треугольника BMC касается стороны BC в точке K. Точка P выбрана так, что четырехугольник MNPK образует параллелограмм. Как можно доказать, что точка P лежит на биссектрисе угла ∠ABC?
Геометрия 8 класс Биссектрисы и медианы треугольника треугольник ABC медиана BM вписанная окружность точка N точка K четырехугольник MNPK параллелограмм биссектрисы угла доказательство в геометрии свойства треугольников
2025-09-13 21:58:03
Для доказательства того, что точка P лежит на биссектрисе угла ∠ABC, начнем с анализа геометрической конструкции, связанной с треугольником ABC и его медианой BM.
1. **Определение медианы**: Медиана BM делит сторону AC пополам, то есть точка M является серединой стороны AC. Это значит, что AM = MC.
2. **Вписанные окружности**: Вписанная окружность треугольника AMB касается стороны AB в точке N, а вписанная окружность треугольника BMC касается стороны BC в точке K. Эти точки касания имеют важное значение, так как они делят стороны на отрезки, пропорциональные длинам сторон треугольников.
3. **Свойства касательных**: Известно, что отрезки, проведенные от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности, равны. Таким образом, для треугольника AMB у нас есть:
- AN = AM - MN
- BN = BM - MN
А для треугольника BMC:
- BK = BM - MK
- CK = MC - MK
4. **Параллелограмм MNPK**: Поскольку MNPK является параллелограммом, то противоположные стороны MN и PK, а также MP и NK равны и параллельны. Это означает, что вектор MP равен вектору NK, а вектор MN равен вектору PK.
5. **Биссектрисы и углы**: Чтобы доказать, что точка P лежит на биссектрисе угла ∠ABC, нам нужно показать, что углы ∠ABP и ∠CBP равны. Из свойств параллелограмма мы знаем, что угол ∠MNP равен углу ∠PKN, так как они являются противоположными углами.
6. **Пропорциональность отрезков**: Из свойств касательных и равенства отрезков, проведенных от точки B к касательным точкам N и K, можно сказать, что:
- BN / AN = BK / CK
Это означает, что отрезки, на которые точка B делит стороны AB и BC, пропорциональны. Таким образом, по определению биссектрисы, угол ∠ABP равен углу ∠CBP.
В результате, мы приходим к выводу, что точка P действительно лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Это завершает наше доказательство.