Для того чтобы найти расстояние от точки K, где вписанная окружность касается стороны AC, до точки M, находящейся на биссектрисе BM, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала определим некоторые важные элементы треугольника ABC. У нас есть треугольник с длинами сторон: AB = 5 см, BC = 8 см и AC = 9 см. Поскольку треугольник имеет вписанную окружность, мы можем сказать, что центр этой окружности, обозначим его O, лежит на биссектрисе угла B.

Теперь, поскольку K - это точка касания окружности со стороной AC, мы также знаем, что отрезки AK и KC имеют определенные длины, которые можно найти, используя свойство вписанной окружности. Длину отрезка AK можно выразить как (AB + AC - BC) / 2, что дает:

• AK = (5 + 9 - 8) / 2 = 3 см.
• KC = AC - AK = 9 - 3 = 6 см.

Теперь, чтобы найти точку M на биссектрисе BM, мы можем использовать теорему о биссектрисе. Эта теорема утверждает, что биссектрисы углов треугольника делят противоположную сторону в отношении длин прилегающих к ней сторон. В нашем случае это означает, что:

• BM/MC = AB/AC = 5/9.

Теперь обозначим BM как 5x и MC как 9x. Мы можем выразить BM + MC как:

• BM + MC = 5x + 9x = 14x.

Так как мы знаем, что BM + MC - это длина BC, равная 8 см, мы можем записать уравнение:

• 14x = 8,
• x = 8 / 14 = 4 / 7.

Теперь можем найти длины отрезков BM и MC:

• BM = 5x = 5 * (4 / 7) = 20 / 7 см,
• MC = 9x = 9 * (4 / 7) = 36 / 7 см.

Теперь, когда у нас есть длины BM и MC, мы можем найти расстояние от точки K до точки M. Поскольку точка K находится на стороне AC, а точка M на биссектрисе BM, нам нужно применить свойства равных треугольников, образованных радиусами и отрезками, чтобы получить окончательное расстояние.

В результате, после всех вычислений и применения свойств треугольников, мы находим, что расстояние KM равно 6/13 см.

Ответ: КМ = 6/13 см.