Чтобы найти высоту треугольника ABC, сначала определим длины его сторон, используя заданное соотношение 4:5:3 и известный периметр.

1. Обозначим стороны треугольника:

• AB = 4x
• BC = 5x
• AC = 3x

2. Найдем периметр треугольника:

Периметр = AB + BC + AC = 4x + 5x + 3x = 12x.

3. У нас есть информация о периметре, который равен 108:

12x = 108.

4. Теперь найдем x:

x = 108 / 12 = 9.

5. Теперь подставим значение x, чтобы найти длины сторон:

• AB = 4x = 4 * 9 = 36
• BC = 5x = 5 * 9 = 45
• AC = 3x = 3 * 9 = 27

Теперь у нас есть длины сторон треугольника:

• AB = 36
• BC = 45
• AC = 27

6. Чтобы найти высоту треугольника, используем формулу для площади треугольника. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Сначала находим полупериметр:

s = (AB + BC + AC) / 2 = (36 + 45 + 27) / 2 = 54.

Теперь используем формулу Герона для площади:

Площадь = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)).

Подставим значения:

Площадь = sqrt(54 * (54 - 36) * (54 - 45) * (54 - 27)) = sqrt(54 * 18 * 9 * 27).

7. Упростим это выражение:

• 54 = 2 * 3^3
• 18 = 2 * 3^2
• 9 = 3^2
• 27 = 3^3

Теперь находим произведение:

Площадь = sqrt(2 * 3^3 * 2 * 3^2 * 3^2 * 3^3) = sqrt(4 * 3^{10}).

Это равно:

Площадь = 2 * 3^5 = 486.

8. Теперь, зная площадь, можем найти высоту, опущенную на основание BC (сторону длиной 45):

Площадь = (основание * высота) / 2.

Подставим известные значения:

486 = (45 * h) / 2.

9. Умножим обе стороны на 2:

972 = 45 * h.

10. Найдем высоту h:

h = 972 / 45 = 21.6.

Ответ: Высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC, равна 21.6.