Чтобы найти длину стороны АС в треугольнике ABC, мы можем использовать теорему косинусов. Эта теорема позволяет находить сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними.

В нашем случае известны:

• Сторона AB = 12 см
• Сторона BC = 15 см
• Угол B = 40 градусов

Мы будем обозначать:

• Сторона AC как c
• Сторона AB как a = 12 см
• Сторона BC как b = 15 см

Согласно теореме косинусов, для нахождения стороны c, мы используем формулу:

c² = a² + b² - 2ab * cos(B)

Теперь подставим известные значения в формулу:

1. Сначала найдём a² и b²:
• a² = 12² = 144
• b² = 15² = 225
2. Теперь подставим значения в формулу:

c² = 144 + 225 - 2 * 12 * 15 * cos(40°)

3. Сначала найдем произведение 2 * 12 * 15:

2 * 12 * 15 = 360

4. Теперь подставим это значение в формулу:

c² = 144 + 225 - 360 * cos(40°)

5. Теперь нужно вычислить cos(40°). Значение cos(40°) примерно равно 0.766:

c² = 144 + 225 - 360 * 0.766

6. Теперь посчитаем:

c² = 144 + 225 - 276.56 = 369 - 276.56 = 92.44

7. Теперь найдём c, взяв квадратный корень из c²:

c = √92.44 ≈ 9.62 см

Таким образом, длина стороны AC в треугольнике ABC составляет примерно 9.62 см.