В треугольнике АВС медиана АМ равна половине стороны ВС. Угол С составляет половину угла В. Какой угол В?

Геометрия 8 класс Треугольники. Медианы треугольника треугольник АВС медиана АМ сторона ВС угол С угол В геометрия 8 класс задачи по геометрии решение треугольников Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Медиана AM равна половине стороны BC.
• Угол C составляет половину угла B.

Обозначим угол B как x, тогда угол C будет равен x/2. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, можем записать уравнение для углов треугольника ABC:

Сумма углов:

1. Угол A + Угол B + Угол C = 180°
2. Угол A + x + x/2 = 180°

Теперь выразим угол A:

Угол A = 180° - x - x/2 = 180° - (2x/2 + x/2) = 180° - (3x/2).

Теперь рассмотрим медиану AM. По свойству медианы, она делит сторону BC пополам. Обозначим точку D, такую что BD = DC. Тогда BD = DC = 1/2 * BC.

Согласно условию, AM = 1/2 * BC. Это значит, что:

AM = BD.

Теперь применим теорему о медианах. Существует формула для медианы, которая связывает длины сторон треугольника и угол между ними:

AM^2 = (AB^2 + AC^2)/2 - (1/4 * BC^2).

Так как AM = 1/2 * BC, подставим это в формулу:

(1/2 * BC)^2 = (AB^2 + AC^2)/2 - (1/4 * BC^2).

Упрощая, получим:

1/4 * BC^2 = (AB^2 + AC^2)/2 - 1/4 * BC^2.

Теперь, если мы сложим 1/4 * BC^2 с обеими сторонами:

1/4 * BC^2 + 1/4 * BC^2 = (AB^2 + AC^2)/2.

1/2 * BC^2 = (AB^2 + AC^2)/2.

Таким образом, AB^2 + AC^2 = BC^2, что указывает на то, что треугольник ABC является прямоугольным, а угол A = 90°.

Теперь подставим значение угла A в уравнение:

90° + x + x/2 = 180°.

Решим это уравнение:

x + x/2 = 180° - 90° = 90°.

2x + x = 180°.

3x = 90°.

x = 30°.

Таким образом, угол B равен 30°. Угол C, который равен x/2, будет равен 15°.

Ответ: Угол B равен 30°.