Чтобы определить тангенс внешнего угла при вершине А в треугольнике ABC, где угол C является прямым, нам нужно использовать некоторые свойства треугольников и тангенсов.

1. Поскольку угол C прямой, у нас есть:

• Угол A + Угол B = 90° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и один угол равен 90°).

2. Тангенс угла C равен 5√3. Однако, так как угол C прямой, мы можем использовать это значение для нахождения тангенсов углов A и B. Мы знаем, что:

• tan(C) = tan(90°) = бесконечность, но мы можем выразить tan(A) и tan(B).
• tan(A) = 1/tan(B).

3. Используя определение тангенса, мы можем записать:

• tan(B) = 5√3.
• Следовательно, tan(A) = 1/(5√3).

4. Теперь, чтобы найти тангенс внешнего угла при вершине A, мы используем следующее свойство:

• tan(внешний угол A) = tan(A + B).

5. Мы знаем, что:

• Угол A + Угол B = 90°.
• Следовательно, tan(A + B) = tan(90°) = бесконечность.

Таким образом, тангенс внешнего угла при вершине A равен бесконечности. Это означает, что внешний угол A является прямым углом.

Таким образом, ответ: тангенс внешнего угла при вершине A равен бесконечности.