Чтобы найти третью сторону треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, мы можем использовать теорему косинусов. Эта теорема гласит, что квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других двух сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула выглядит следующим образом:

c² = a² + b² - 2ab * cos(y)

где:

• c — искомая сторона,
• a и b — известные стороны,
• y — угол между сторонами a и b.

Теперь давайте применим эту формулу к каждому из ваших случаев.

1. Ситуация 1: a = 3 м, b = 5 м, y = 30°

   Сначала найдем косинус угла:

   cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866.

   Теперь подставим значения в формулу:

   c² = 3² + 5² - 2 * 3 * 5 * cos(30°)

   c² = 9 + 25 - 30 * 0.866

   c² = 34 - 25.98 ≈ 8.02

   c ≈ √8.02 ≈ 2.83 м.

2. Ситуация 2: a = 2√2 м, b = 3 м, y = 45°

   cos(45°) = √2/2 ≈ 0.707.

   Теперь подставим значения:

   c² = (2√2)² + 3² - 2 * (2√2) * 3 * cos(45°)

   c² = 8 + 9 - 12√2 * 0.707

   c² = 17 - 8.49 ≈ 8.51

   c ≈ √8.51 ≈ 2.92 м.

3. Ситуация 3: a = 8 см, b = 3√3 см, y = 120°

   cos(120°) = -0.5.

   Теперь подставим значения:

   c² = 8² + (3√3)² - 2 * 8 * 3√3 * (-0.5)

   c² = 64 + 27 + 24√3

   c² = 91 + 24√3.

   c ≈ √(91 + 24√3) ≈ 14.08 см (примерное значение).

4. Ситуация 4: a = 4 см, b = 7 см, y = 60°

   cos(60°) = 0.5.

   Теперь подставим значения:

   c² = 4² + 7² - 2 * 4 * 7 * cos(60°)

   c² = 16 + 49 - 28

   c² = 37.

   c ≈ √37 ≈ 6.08 см.

Таким образом, мы нашли третью сторону треугольника в каждом из случаев, используя теорему косинусов и значения углов.