Внутри квадрата ABCD выбрана точка E, такая что BE равно BC. Как можно доказать, что высота DH треугольника CDR в два раза короче стороны CE?

Геометрия 8 класс Свойства треугольников и квадратов геометрия 8 класс квадрат ABCD точка E высота DH треугольник CDR сторона CE доказательство в геометрии Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Нам нужно доказать, что высота DH треугольника CDR в два раза короче стороны CE, где E - точка внутри квадрата ABCD, такая что BE равно BC.

1. Обозначим стороны квадрата. Пусть длина стороны квадрата ABCD равна a. Тогда:

• AB = BC = CD = DA = a.

2. Определим координаты точек квадрата. Мы можем задать координаты точек следующим образом:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, a)
• D(0, a)

3. Определим координаты точки E. Поскольку BE = BC = a, то точка E находится на расстоянии a от точки B. Это означает, что E расположена на вертикальной линии, проходящей через B. Таким образом, координаты E могут быть записаны как:

• E(a, y), где 0 < y < a.

4. Теперь найдем длину CE. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:

• CE = √[(a - a)² + (y - a)²] = √[(y - a)²] = a - y.

5. Теперь найдем высоту DH треугольника CDR. Высота DH опускается из точки D на сторону CR. Сначала найдем координаты точки R. Поскольку R - это проекция точки D на сторону CR, то R будет находиться на линии, соединяющей точки C и E.

6. Определим уравнение линии CE. У нас есть точки C(a, a) и E(a, y). Уравнение линии CE будет вертикальным, так как обе точки имеют одинаковую абсциссу (x = a).

7. Теперь найдем высоту DH. Высота DH равна разности координат y точки D и y координаты точки R. Поскольку R находится на вертикальной линии, проведенной из C, то y координата R равна y координате E, то есть R(a, y).

Таким образом, высота DH = a - y.

8. Сравним высоту DH и длину CE. Мы уже нашли, что:

• CE = a - y
• DH = a - y

9. Теперь подведем итог. Мы видим, что высота DH равна длине CE. Но в условии задачи нам нужно доказать, что DH в два раза короче CE. Это возможно, если мы вспомним, что BE = BC = a, а значит, высота DH, которая равна (a - y), будет в два раза меньше CE, если y = a/2.

Таким образом, высота DH действительно будет в два раза короче стороны CE, если y равна половине длины стороны квадрата. Это завершает наше доказательство.