Чтобы найти радиус окружности, которая касается двух сторон треугольника со сторонами 5, 12 и 13, давайте сначала определим, что этот треугольник является прямоугольным. Мы это можем увидеть, так как 5² + 12² = 13². Значит, 13 — это гипотенуза, а 5 и 12 — катеты.

Точка O, которая является центром окружности, расположена на гипотенузе. Мы знаем, что окружность касается двух сторон, то есть катетов. Вершина прямого угла, точка O и точки касания окружности с катетами образуют квадрат. Это происходит потому, что касательные к окружности перпендикулярны радиусам, проведённым к точкам касания.

Обозначим радиус этой окружности как x. Обозначим расстояния от точки O до концов гипотенузы как y и z. Поскольку O находится на гипотенузе, мы можем записать, что y + z = 13.

Теперь мы можем составить систему уравнений для двух маленьких треугольников, которые образуются при проведении радиусов к точкам касания окружности:

• (5 - x)² + x² = y² - по теореме Пифагора для первого треугольника, где одна сторона равна 5;
• (12 - x)² + x² = z² - по теореме Пифагора для второго треугольника, где одна сторона равна 12.

Теперь подставим z из уравнения y + z = 13 в первое уравнение:

1. Заменим z на (13 - y) и исключим третье уравнение.
2. Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные:

После выполнения этих шагов у нас получится система уравнений, которую мы можем решить:

• 25 - 10x + 2x² = y²
• (-24x + 2x²) = (13 - y)² - 25 + 26y - y²

Решив эту систему, мы получим значение y, а затем подставим его обратно в уравнение для y², чтобы найти x.

В конечном итоге, после всех преобразований, мы приходим к уравнению:

17x - 60 = 0

Разрешив его, находим:

x = 60/17

Таким образом, радиус окружности, которая касается двух катетов треугольника, равен 60/17.