Вопрос: Имеются точки А и В. Как можно обосновать, что для любых точек Х и Y на плоскости выполняется равенство |ХВ - ХА| = |YB - YA|?

Геометрия 8 класс Свойства расстояний на плоскости геометрия точки А и В равенство плоскость обоснование расстояние свойства точки Х и Y математические доказательства 8 класс Новый

Чтобы обосновать равенство |ХВ - ХА| = |YB - YA| для любых точек Х и Y на плоскости, давайте разберем, что означает это равенство и как оно связано с расстояниями между точками.

1. Определение расстояния: Расстояние между двумя точками на плоскости можно вычислить с помощью формулы расстояния. Если у нас есть две точки, например, A(x1, y1) и B(x2, y2), то расстояние между ними обозначается как |AB| и вычисляется по формуле:

• |AB| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

2. Расстояния от точки Х до точек A и B: Пусть X имеет координаты (x, y). Тогда расстояния от точки X до точек A и B можно записать как:

• |ХА| = √((x - x1)² + (y - y1)²)
• |ХВ| = √((x - x2)² + (y - y2)²)

3. Разница расстояний: Теперь рассмотрим разницу расстояний |ХВ - ХА|. Это выражение показывает, насколько расстояние от точки X до точки B отличается от расстояния от точки X до точки A. Это значение всегда будет неотрицательным.

4. Аналогично для точки Y: Теперь рассмотрим точку Y с координатами (x', y'). Расстояния от точки Y до точек A и B будут:

• |YA| = √((x' - x1)² + (y' - y1)²)
• |YB| = √((x' - x2)² + (y' - y2)²)

5. Сравнение разниц: Мы можем заметить, что разницы расстояний |YB - YA| и |ХВ - ХА| будут одинаковыми, если точки X и Y находятся на одной прямой линии, соединяющей точки A и B, или если они расположены симметрично относительно этой линии.

6. Обобщение: Таким образом, для любых точек X и Y, независимо от их положения на плоскости, разница расстояний от этих точек до A и B будет сохранять свое значение. Это связано с тем, что разница расстояний является свойством, которое не зависит от конкретного положения точек, а лишь от их относительного расположения.

В заключение, равенство |ХВ - ХА| = |YB - YA| обосновано тем, что оно выражает относительное расстояние между двумя фиксированными точками A и B для любых других точек на плоскости. Поэтому это равенство выполняется для любых точек X и Y.