Решение:

1. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По условию задачи, $HD = 5$, а $DH = 1$. Тогда по теореме Пифагора:

$CH^2 = HD^2 + DH^2$

$CH^2 = 25 + 1$

$CH = \sqrt{26}$

3. Так как трапеция равнобедренная, то $AH = BC$. Следовательно, длина основания $BC$ равна длине отрезка $AH$ и равна $\sqrt{26}$.

Ответ: $\boxed{BC = \sqrt{26}}$.

Объяснение:

В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полусумме оснований, а больший — их полуразности. В данном случае отрезок $AH$ равен полусумме оснований $AD$ и $BC$, так как $AH = CH + HB$. Отрезок $HD$ равен полуразности оснований, так как $HD = AD - BC$.

По условию задачи $HB = BC$, $HD = 5$ и $CH = 1$, поэтому $AH = 1 + 5 = 6$. Получаем уравнение:

$BC + 5 = 6$

откуда $BC = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, меньшее основание равно 1, большее — 6, а высота — $\sqrt{6^2 - 1^2} = \sqrt{36 - 1} = \sqrt{35}$.

Поскольку в условии задачи сказано, что высота делит основание $AD$ на отрезки длиной 1 и 5, то это означает, что большее основание равно сумме этих отрезков, т. е. $AD = 1+5=6$.

Следовательно, длина отрезка $BH$ равна разности оснований: $BH = AD - HC = 6-1=5$.

Теперь можно найти длину высоты $CH$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $CHD$:

$(CH)^2 = (HD)^2 + (DH)^2$

Подставляя известные значения, получаем:

$(CH)^2 = 5^2 + 1^2$

$(CH)^2 = 26$

Отсюда $CH = \sqrt{26}$, а так как трапеция равнобедренная, то и $AH = \sqrt{26} = BC$.