1. Каково соотношение площади круга, вписанного в правильный шестиугольник, к площади круга, описанного вокруг этого шестиугольника?

2. В правильном восьмиугольнике А1 А2...А8 найдите (корень из 2-1)*S, где S - это площадь треугольника А1 А4 А6, а площадь треугольника А1 А4 А5 равна 8 корней из 2.

3. Какова площадь параллелограмма А1 А2 А5 А6, вписанного в правильный восьмиугольник А1 А2...А8, если длина диагонали А4 А6 этого восьмиугольника равна 17 корней из 4 степени из 2?

Геометрия 9 класс Площадь и свойства многоугольников площадь круга вписанный шестиугольник описанный шестиугольник Правильный восьмиугольник площадь треугольника параллелограмм длина диагонали геометрические фигуры свойства фигур задачи по геометрии Новый

1. Соотношение площади круга, вписанного в правильный шестиугольник, к площади круга, описанного вокруг этого шестиугольника.

Для начала, давайте вспомним, что правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Если обозначить длину стороны шестиугольника как a, то:

• Площадь одного равностороннего треугольника: S = (a^2 * √3) / 4.
• Площадь шестиугольника: S_hex = 6 * S = 6 * (a^2 * √3) / 4 = (3√3 * a^2) / 2.

Теперь найдем радиус круга, вписанного в шестиугольник. Радиус r вписанного круга равен:

• r = (a * √3) / 2.

Площадь круга, вписанного в шестиугольник, равна:

• S_in = π * r^2 = π * ((a * √3) / 2)^2 = (3π * a^2) / 4.

Теперь найдем радиус описанного круга. Радиус R описанного круга равен:

• R = a.

Площадь круга, описанного вокруг шестиугольника, равна:

• S_out = π * R^2 = π * a^2.

Теперь найдем соотношение площадей:

• Соотношение = S_in / S_out = ((3π * a^2) / 4) / (π * a^2) = 3/4.

Таким образом, соотношение площади круга, вписанного в правильный шестиугольник, к площади круга, описанного вокруг этого шестиугольника, равно 3/4.

2. Площадь треугольника А1 А4 А6 в правильном восьмиугольнике.

Давайте сначала найдем площадь треугольника А1 А4 А6. Мы знаем, что площадь треугольника А1 А4 А5 равна 8√2. Треугольники А1 А4 А5 и А1 А4 А6 имеют общую сторону А1А4 и угол А4, который равен 90 градусов (так как восьмиугольник правильный).

Таким образом, площадь треугольника А1 А4 А6 будет равна:

• S_A1A4A6 = S_A1A4A5 - S_A4A5A6.

Площадь треугольника А4А5А6 также равна половине площади треугольника А1А4А5, так как они равны по высоте и основанию:

• S_A4A5A6 = 1/2 * S_A1A4A5 = 1/2 * 8√2 = 4√2.

Теперь подставим это значение в формулу:

• S_A1A4A6 = 8√2 - 4√2 = 4√2.

Теперь нам нужно найти (√2 - 1) * S:

• (√2 - 1) * S_A1A4A6 = (√2 - 1) * 4√2 = 4(√2 * √2 - √2) = 4(2 - √2) = 8 - 4√2.

Таким образом, (√2 - 1) * S = 8 - 4√2.

3. Площадь параллелограмма А1 А2 А5 А6 в правильном восьмиугольнике.

Параллелограмм А1А2А5А6 имеет основание А1А2 и высоту, равную расстоянию от точки А5 до прямой, проходящей через А1 и А2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Длина диагонали А4А6 равна 17√2. В правильном восьмиугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому длина стороны восьмиугольника равна:

• Сторона = 17√2 / 2.

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, нужно умножить длину стороны на высоту. Высота равна длине стороны, умноженной на sin(45°) (так как угол между сторонами равен 45 градусам):

• Высота = (17√2 / 2) * sin(45°) = (17√2 / 2) * (√2 / 2) = 17 / 2.

Теперь можем найти площадь:

• Площадь = основание * высота = (17√2 / 2) * (17 / 2) = (17 * 17√2) / 4 = 289√2 / 4 = 72.25√2.

Таким образом, площадь параллелограмма А1А2А5А6 равна 72.25√2.