Давайте поочередно разберем оба вопроса.

Вершины четырехугольника A(1;3),B(5;7),C(7;7),D(0;0) расположены в координатной плоскости. Чтобы определить, какой геометрической фигуре соответствует этот четырехугольник, нам нужно найти длины его сторон и проверить, равны ли какие-либо из них.

1. Найдём длины сторон:
• AB: √((5-1)² + (7-3)²) = √(4² + 4) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
• BC: √((7-5)² + (7-7)²) = √(2² + 0) = √4 = 2.
• CD: √((0-7)² + (0-7)²) = √((-7)² + 0) = √49 = 7.
• DA: √((1-0)² + (3-0)²) = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10.
2. Теперь проверим, равны ли какие-либо стороны:
• Длину AB мы нашли равной 4√2, BC - 2, CD - 7, DA - √10.
• Стороны не равны между собой, значит, фигура не является параллелограммом или ромбом.
3. Проверим, параллельны ли противоположные стороны:
• Сравним угловые координаты:
• AB и CD: AB имеет координаты (1,3) и (5,7),а CD - (0,0) и (7,7). Они не параллельны, так как имеют разные наклоны.
• BC и DA: BC имеет координаты (5,7) и (7,7),а DA - (0,0) и (1,3). Они также не параллельны.
4. Таким образом, четырехугольник ABCD не является ни параллелограммом, ни трапецией, и, следовательно, он является произвольным четырехугольником.

Векторы a(1/2;3) и d(-4;K) могут быть коллинеарными или перпендикулярными в зависимости от значений их компонент.

1. Для коллинеарности:
• Векторы коллинеарны, если их компоненты пропорциональны. То есть:
• (1/2) / (-4) = 3 / K.
• Решим это уравнение:
• 1/2 * K = -12.
• K = -24.
• Таким образом, K = -24 для коллинеарности векторов.
2. Для перпендикулярности:
• Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
• (1/2) * (-4) + 3 * K = 0.
• -2 + 3K = 0.
• 3K = 2.
• K = 2/3.
• Таким образом, K = 2/3 для перпендикулярности векторов.

Таким образом, мы определили, что четырехугольник ABCD является произвольным четырехугольником, а значения K для векторов a и d равны -24 (коллинеарные) и 2/3 (перпендикулярные) соответственно.