1. Периметр правильного шестиугольника и сторона квадрата

Правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон. Если его периметр равен 32 м, то для нахождения длины одной стороны шестиугольника, нужно периметр разделить на количество сторон:

• Сторона шестиугольника = Периметр / 6 = 32 м / 6 = 5.33 м (округляя, 5.33 м).

Теперь найдем сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. Радиус окружности, в которую вписан шестиугольник, равен длине его стороны. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна радиусу окружности, умноженному на корень из 2:

• Сторона квадрата = Радиус * √2 = 5.33 м * √2 ≈ 5.33 м * 1.414 ≈ 7.53 м.

2. Площадь круга

Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 72 дм². Сторона квадрата равна корню из площади:

• Сторона квадрата = √72 дм² = 6√2 дм.

Диагональ квадрата равна радиусу окружности, и она равна стороне квадрата, умноженной на корень из 2:

• Диагональ = Сторона * √2 = 6√2 дм * √2 = 12 дм.
• Радиус окружности = Диагональ / 2 = 12 дм / 2 = 6 дм.

Теперь найдем площадь круга по формуле: Площадь = π * r²:

• Площадь = π * (6 дм)² = π * 36 дм² ≈ 113.1 дм².

3. Длина дуги и площадь сектора

Длина дуги окружности рассчитывается по формуле: Длина дуги = (θ/360) * 2πr, где θ - угол в градусах, r - радиус.

• Длина дуги = (135°/360) * 2π * 6 см = (135/360) * 12π см ≈ 9π см ≈ 28.27 см.

Площадь кругового сектора рассчитывается по формуле: Площадь сектора = (θ/360) * πr²:

• Площадь сектора = (135°/360) * π * (6 см)² = (135/360) * 36π см² ≈ 13.5π см² ≈ 42.41 см².

4. Площадь оставшейся части круга

Сначала найдем площадь всего круга радиусом 30 см:

• Площадь круга = π * (30 см)² = π * 900 см² ≈ 2827.43 см².

Теперь найдем площадь сектора с углом 60°:

• Площадь сектора = (60°/360) * π * (30 см)² = (1/6) * π * 900 см² ≈ 471.24 см².

Теперь вычтем площадь сектора из площади круга:

• Площадь оставшейся части = Площадь круга - Площадь сектора = 2827.43 см² - 471.24 см² ≈ 2356.19 см².

5. Углы правильного двенадцатиугольника

Внешний угол правильного двенадцатиугольника можно найти по формуле: Внешний угол = 360° / n, где n - количество сторон:

• Внешний угол = 360° / 12 = 30°.

Внутренний угол равен 180° - внешний угол:

• Внутренний угол = 180° - 30° = 150°.

Таким образом, внешний угол правильного двенадцатиугольника равен 30°, а внутренний угол равен 150°.