1) Какой вид треугольника можно определить, если центры его вписанной и описанной окружностей совпадают?

Если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, это говорит о том, что треугольник является равносторонним. Давайте разберем, почему это так:

• В равностороннем треугольнике все стороны равны, и соответственно, все углы равны, то есть по 60 градусов.
• В таком треугольнике радиусы вписанной и описанной окружностей имеют особое соотношение, и их центры совпадают.

Таким образом, если мы знаем, что центры обеих окружностей совпадают, мы можем с уверенностью сказать, что треугольник равносторонний.

2) В вписанном четырехугольнике ABCD угол ABD составляет 50 градусов, а угол CDA — 75 градусов. Какой угол равен углу CAD?

Чтобы найти угол CAD, воспользуемся свойством вписанных углов четырехугольника. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам. Запишем уравнение:

• Угол ABD + угол CDA = 180 градусов.

Подставим известные значения:

• 50 градусов + 75 градусов + угол CAD + угол ABC = 180 градусов.

Теперь выражаем угол CAD. Поскольку угол ABC также противолежащий углу CDA, то:

• 180 - (50 + 75) = угол CAD.
• 180 - 125 = 55 градусов.

Таким образом, угол CAD равен 55 градусам.

3) У параллелограмма, у которого диагонали не перпендикулярны, описана окружность. Какой вид этого параллелограмма?

Если у параллелограмма существует описанная окружность, это значит, что он является равнобедренным. Однако, если мы знаем, что диагонали не перпендикулярны, то это исключает возможность, что параллелограмм является квадратом, так как у квадрата диагонали перпендикулярны. Таким образом, параллелограмм, у которого диагонали не перпендикулярны и который имеет описанную окружность, это ромб, но не квадрат.

Итак, ответ: это ромб, поскольку у него описана окружность, а диагонали не перпендикулярны.