Для решения задачи, давайте рассмотрим оба пункта по порядку.

1. На рисунке 2 MN || AC.

а) Докажите, что AB • BN = CB • BM.

Для доказательства данного равенства воспользуемся свойством пропорциональных отрезков, которое утверждает, что если две прямые параллельны, то отрезки, образованные пересечением этих прямых с двумя другими пересекающимися прямыми, пропорциональны.

• Пусть M и N - точки пересечения линий MN и AC соответственно с отрезками AB и CB.
• Так как MN || AC, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем:
• AB / CB = BM / BN.
• Перемножим обе части уравнения на CB • BN:
• AB • BN = CB • BM.

Таким образом, мы доказали, что AB • BN = CB • BM.

б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см.

Сначала определим длины отрезков AB и CB:

• AB = AM + BM = 6 см + 8 см = 14 см.
• Согласно предыдущему равенству, можем записать:
• AB / AC = MN / BM.

Подставим известные значения:

• 14 / 21 = MN / 8.

Теперь решим это уравнение:

• MN = (14 / 21) • 8.
• MN = (2/3) • 8 = 16/3 см ≈ 5.33 см.

Таким образом, MN ≈ 5.33 см.

2. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.

Для нахождения отношения площадей треугольников воспользуемся формулой, которая связывает отношение площадей треугольников с отношением их оснований и высот. Площадь треугольника можно выразить как:

Площадь = (1/2) • основание • высота.

Отношение площадей треугольников PQR и ABC будет равно:

• Площадь PQR / Площадь ABC = (PQ • h1) / (AB • h2),где h1 и h2 - высоты, проведенные из соответствующих вершин к основаниям.

Поскольку высоты треугольников пропорциональны их основаниям, можем записать:

• h1 / h2 = PQ / AB.

Теперь подставим известные значения:

• PQ = 16 см, AB = 12 см.
• h1 / h2 = 16 / 12 = 4 / 3.

Теперь найдем отношение площадей:

• Площадь PQR / Площадь ABC = (PQ / AB) • (h1 / h2) = (16 / 12) • (4 / 3) = (16 • 4) / (12 • 3) = 64 / 36 = 16 / 9.

Таким образом, отношение площадей треугольников PQR и ABC равно 16:9.