1. В произвольном треугольнике проведена средняя линия, которая отсекла меньший треугольник. Каково соотношение площади меньшего треугольника к площади этого треугольника?

 

2. Вокруг трапеции описана окружность, центр которой находится на большем основании. Каковы углы трапеции, если меньшее основание в два раза меньше большего основания?

 

3. Угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины большего угла треугольника, равен 12°. Каковы углы этого треугольника, если его наибольший угол в четыре раза больше наименьшего угла?

 

4. О1 и О2 - центры двух окружностей, которые касаются внешним образом. Прямая О1О2 пересекает первую окружность (с центром в точке О1) в точке А. Каков диаметр второй окружности, если радиус первой равен 5 см, а касательная, проведенная из точки А ко второй окружности, образует угол в 30° с прямой О1О2?

Геометрия 9 класс Площади треугольников и трапеций; Углы треугольника; Окружности и касательные средняя линия треугольника площадь треугольника углы трапеции окружность трапеции биссектрисы треугольника угол треугольника центры окружностей касательная к окружности радиус окружности геометрические задачи Новый

1. Соотношение площадей треугольников.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведем среднюю линию DE, которая соединяет середины сторон AB и AC. По свойству средней линии, она параллельна стороне BC и равна половине ее длины.

Площадь треугольника ADE, который является меньшим треугольником, будет равна:

• Площадь треугольника ABC = 1/2 * основание * высота.
• Площадь треугольника ADE = 1/2 * (1/2 * основание) * (1/2 * высота) = 1/8 * основание * высота.

Таким образом, соотношение площадей меньшего треугольника к площади большего треугольника будет:

• Площадь ADE / Площадь ABC = (1/8 * основание * высота) / (1/2 * основание * высота) = 1/4.

Ответ: Соотношение площадей составляет 1:4.

2. Углы трапеции с описанной окружностью.

Пусть ABCD - трапеция, где AB - большее основание, а CD - меньшее основание. Если CD в два раза меньше AB, то можно записать: CD = 1/2 * AB.

В трапеции с описанной окружностью сумма углов при каждом основании равна 180°. Обозначим углы:

• Угол A = α
• Угол B = β
• Угол C = γ
• Угол D = δ

Тогда:

• α + β = 180°
• γ + δ = 180°

Также в трапеции с описанной окружностью углы при большем основании равны углам при меньшем основании. Таким образом, α = δ и β = γ.

Если CD = 1/2 * AB, то углы будут равны 45° и 135°.

Ответ: Углы трапеции равны 45° и 135°.

3. Углы треугольника с известным соотношением.

Обозначим углы треугольника как x (наименьший угол), 4x (наибольший угол) и y (средний угол). Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы можем записать уравнение:

• x + 4x + y = 180°

Теперь, зная, что угол между биссектрисой и высотой равен 12°, мы можем выразить y через x:

• y = 180° - 5x.

Так как угол между биссектрисой и высотой равен 12°, можно записать:

• y - 12° = 90° - (4x / 2),

что приводит к уравнению:

• y = 90° - 2x + 12° = 102° - 2x.

Теперь подставим y в уравнение:

• 180° - 5x = 102° - 2x.

Решая это уравнение, получаем:

• 180° - 102° = 5x - 2x
• 78° = 3x
• x = 26°.

Таким образом, углы треугольника:

• Наименьший угол: 26°
• Средний угол: 180° - 5*26° = 70°
• Наибольший угол: 4*26° = 104°.

Ответ: Углы треугольника равны 26°, 70° и 104°.

4. Диаметр второй окружности.

Пусть радиус первой окружности O1 равен 5 см. Обозначим радиус второй окружности как R2.

Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами O1 и O2 равно R1 + R2. В данном случае это будет:

• O1O2 = 5 + R2.

Из точки A, находящейся на первой окружности, проведем касательную к второй окружности, которая образует угол 30° с прямой O1O2. По свойству касательной, мы знаем, что:

• tan(30°) = R2 / (5 + R2).

Зная, что tan(30°) = 1/√3, можем составить уравнение:

• 1/√3 = R2 / (5 + R2).

Умножим обе стороны на (5 + R2):

• (5 + R2) / √3 = R2.

Теперь умножим обе стороны на √3:

• 5 + R2 = R2 * √3.

Переносим R2 в одну сторону:

• 5 = R2 * (√3 - 1).

Теперь выразим R2:

• R2 = 5 / (√3 - 1).

Теперь найдём диаметр второй окружности:

• D2 = 2 * R2 = 10 / (√3 - 1).

Ответ: Диаметр второй окружности равен 10 / (√3 - 1) см.