1) В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали равна 4√(21) см, а соотношение его измерений составляет 1:2:4. Как можно найти площадь полной поверхности этого параллелепипеда?

2) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 м, а высота составляет 2 м. Как определить угол наклона боковой грани к плоскости основания и какую площадь имеет полная поверхность пирамиды?

Геометрия 9 класс Площадь и объем многогранников прямоугольный параллелепипед длина диагонали площадь полной поверхности правильная четырехугольная пирамида угол наклона боковой грани площадь полной поверхности пирамиды Новый

1) Решение задачи о прямоугольном параллелепипеде:

Для начала, давайте обозначим размеры параллелепипеда как:

• a - первая сторона (в 1 раз),
• b - вторая сторона (в 2 раза),
• c - третья сторона (в 4 раза).

Согласно соотношению, мы можем записать:

• a = x,
• b = 2x,
• c = 4x.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины диагонали параллелепипеда:

D = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Подставим наши значения:

D = sqrt(x^2 + (2x)^2 + (4x)^2) = sqrt(x^2 + 4x^2 + 16x^2) = sqrt(21x^2) = x * sqrt(21).

Из условия задачи известно, что D = 4√21 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

x * sqrt(21) = 4 * sqrt(21).

Теперь делим обе стороны на sqrt(21):

x = 4 см.

Теперь мы можем найти размеры параллелепипеда:

• a = x = 4 см,
• b = 2x = 8 см,
• c = 4x = 16 см.

Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Формула для нахождения площади полной поверхности:

S = 2(ab + ac + bc).

Подставим значения:

• ab = 4 * 8 = 32 см²,
• ac = 4 * 16 = 64 см²,
• bc = 8 * 16 = 128 см².

Теперь подставим их в формулу:

S = 2(32 + 64 + 128) = 2 * 224 = 448 см².

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 448 см².

2) Решение задачи о правильной четырёхугольной пирамиде:

Давайте начнем с нахождения угла наклона боковой грани к плоскости основания. Для этого нам нужно знать высоту боковой грани и половину стороны основания.

Сторона основания равна 4 м, следовательно, половина стороны основания будет равна:

h = 4 / 2 = 2 м.

Высота пирамиды (h) равна 2 м. Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти угол наклона боковой грани. Угол наклона (φ) можно найти с помощью тангенса:

tan(φ) = высота / половина стороны основания = h / (a/2) = 2 / 2 = 1.

Теперь, чтобы найти угол φ, мы можем воспользоваться арктангенсом:

φ = arctan(1) = 45°.

Теперь давайте найдем площадь полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности (S) состоит из площади основания и площади боковых граней.

Площадь основания (S_основание) равна:

S_основание = a^2 = 4^2 = 16 м².

Теперь найдем площадь одной боковой грани. Площадь боковой грани (S_боковая) равна:

S_боковая = (1/2) * основание * высота боковой грани.

Сначала нам нужно найти высоту боковой грани. Мы можем использовать теорему Пифагора:

h_боковая = sqrt(высота^2 + (половина стороны основания)^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2√2 м.

Теперь подставим в формулу для площади боковой грани:

S_боковая = (1/2) * 4 * 2√2 = 4√2 м².

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

S_боковые = 4 * S_боковая = 4 * 4√2 = 16√2 м².

Теперь можем найти полную площадь поверхности:

S = S_основание + S_боковые = 16 + 16√2 м².

Ответ: Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 45°, а площадь полной поверхности пирамиды равна 16 + 16√2 м².