Длины дуг, разделяющих описанную окружность треугольника ABC, находятся в отношении 4:9:11. Какую сторону треугольника можно считать меньшей, если радиус этой окружности равен 14?

Геометрия 9 класс Дуги окружности и их отношения в треугольнике длины дуг окружность треугольника радиус окружности треугольник ABC отношение дуг меньшая сторона треугольника Новый

Для решения этой задачи, начнем с того, что длины дуг, разделяющих описанную окружность треугольника ABC, относятся как 4:9:11. Давайте обозначим длины этих дуг как 4x, 9x и 11x, где x - это некоторый коэффициент пропорциональности.

Сумма всех дуг окружности равна длине окружности, которая рассчитывается по формуле:

C = 2 * π * R

Где R - радиус окружности. В нашем случае радиус равен 14, следовательно:

C = 2 * π * 14 = 28π

Теперь мы можем записать уравнение для длины окружности:

4x + 9x + 11x = 28π

Сложим коэффициенты:

24x = 28π

Теперь найдем x:

x = (28π) / 24 = (7π) / 6

Теперь подставим значение x обратно в выражения для длин дуг:

• Дуга, соответствующая стороне a: 4x = 4 * (7π / 6) = (28π) / 6 = (14π) / 3
• Дуга, соответствующая стороне b: 9x = 9 * (7π / 6) = (63π) / 6 = (21π) / 2
• Дуга, соответствующая стороне c: 11x = 11 * (7π / 6) = (77π) / 6

Теперь, чтобы найти стороны треугольника, воспользуемся тем, что длина стороны треугольника, противоположной углу, равна длине дуги, соответствующей этому углу. Таким образом:

• Сторона a соответствует дуге 4x = (14π) / 3
• Сторона b соответствует дуге 9x = (21π) / 2
• Сторона c соответствует дуге 11x = (77π) / 6

Теперь нам нужно сравнить длины сторон. Для этого удобно привести все длины к общему знаменателю:

• Длина стороны a: (14π) / 3 = (28π) / 6
• Длина стороны b: (21π) / 2 = (63π) / 6
• Длина стороны c: (77π) / 6

Теперь сравним длины:

(28π) / 6 < (63π) / 6 < (77π) / 6

Таким образом, наименьшая сторона треугольника ABC - это сторона a, которая соответствует дуге 4x.

Ответ: меньшей стороной треугольника ABC является сторона a.