Для доказательства того, что прямая, соединяющая середины двух хорд окружности, проходит через её центр, давайте рассмотрим окружность и две хорды, которые пересекаются в этой окружности.

Шаг 1: Обозначим элементы

• Пусть O - центр окружности.
• Пусть A и B - концы первой хорды.
• Пусть C и D - концы второй хорды.
• Обозначим M - середину хорды AB и N - середину хорды CD.

Шаг 2: Запишем свойства хорд

Согласно свойству хорд окружности, перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Это означает, что:

• OM перпендикулярен AB и OM = OA = OB (радиусы окружности).
• ON перпендикулярен CD и ON = OC = OD (радиусы окружности).

Шаг 3: Рассмотрим треугольники

Теперь мы можем рассмотреть треугольники OMA и OMB:

• Треугольник OMA равен треугольнику OMB по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников).
• Следовательно, OM = OM (общая сторона),OA = OB (радиусы),и угол OMA = угол OMB (по перпендикуляру).

Шаг 4: Аналогично для второй хорды

Аналогично, можно доказать, что:

• Треугольники ONC и OND равны по тем же причинам.

Шаг 5: Доказательство, что M, N и O лежат на одной прямой

Теперь мы можем рассмотреть прямую MN, которая соединяет середины хорд. Поскольку OM и ON являются перпендикулярами к хорд AB и CD соответственно, это означает, что точки M и N находятся на одном уровне относительно центра O.

Таким образом, прямая, проходящая через точки M и N, будет вертикальной и будет пересекаться с прямой, проходящей через центр O. Это означает, что прямая MN проходит через центр O окружности.

Вывод: Мы доказали, что прямая, соединяющая середины двух хорд окружности, проходит через её центр.