Докажите, что прямая, содержащая середины двух хорд окружности, проходит через её центр. Пожалуйста, нужен рисунок.

Геометрия 9 класс Свойства окружности доказательство прямая середины хорд окружность центр геометрия рисунок свойства окружности теорема окружности Новый

Для доказательства того, что прямая, соединяющая середины двух хорд окружности, проходит через её центр, давайте рассмотрим окружность и две хорды, которые пересекаются в этой окружности.

Шаг 1: Обозначим элементы

• Пусть O - центр окружности.
• Пусть A и B - концы первой хорды.
• Пусть C и D - концы второй хорды.
• Обозначим M - середину хорды AB и N - середину хорды CD.

Шаг 2: Запишем свойства хорд

Согласно свойству хорд окружности, перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Это означает, что:

• OM перпендикулярен AB и OM = OA = OB (радиусы окружности).
• ON перпендикулярен CD и ON = OC = OD (радиусы окружности).

Шаг 3: Рассмотрим треугольники

Теперь мы можем рассмотреть треугольники OMA и OMB:

• Треугольник OMA равен треугольнику OMB по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников).
• Следовательно, OM = OM (общая сторона), OA = OB (радиусы), и угол OMA = угол OMB (по перпендикуляру).

Шаг 4: Аналогично для второй хорды

Аналогично, можно доказать, что:

• Треугольники ONC и OND равны по тем же причинам.

Шаг 5: Доказательство, что M, N и O лежат на одной прямой

Теперь мы можем рассмотреть прямую MN, которая соединяет середины хорд. Поскольку OM и ON являются перпендикулярами к хорд AB и CD соответственно, это означает, что точки M и N находятся на одном уровне относительно центра O.

Таким образом, прямая, проходящая через точки M и N, будет вертикальной и будет пересекаться с прямой, проходящей через центр O. Это означает, что прямая MN проходит через центр O окружности.

Вывод: Мы доказали, что прямая, соединяющая середины двух хорд окружности, проходит через её центр.