Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нам нужно вычислить длины всех его сторон и сравнить их. Для этого будем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости.

Формула для расстояния между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2) выглядит следующим образом:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь найдем длины сторон треугольника ABC:

1. Сторона AB:

Координаты точек A(0; 1) и B(1; -4).

Используем формулу:

d_AB = √((1 - 0)² + (-4 - 1)²) = √(1 + 25) = √26.

2. Сторона BC:

Координаты точек B(1; -4) и C(5; 2).

Используем формулу:

d_BC = √((5 - 1)² + (2 - (-4))²) = √(16 + 36) = √52.

3. Сторона AC:

Координаты точек A(0; 1) и C(5; 2).

Используем формулу:

d_AC = √((5 - 0)² + (2 - 1)²) = √(25 + 1) = √26.

Теперь у нас есть длины всех сторон:

• d_AB = √26
• d_BC = √52
• d_AC = √26

Мы видим, что стороны AB и AC равны (d_AB = d_AC = √26). Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника, заданного координатами вершин:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставим координаты вершин A(0; 1), B(1; -4), C(5; 2):

Площадь = 0.5 * |0(-4 - 2) + 1(2 - 1) + 5(1 - (-4))|

Площадь = 0.5 * |0 + 1 + 5 * 5| = 0.5 * |0 + 1 + 25| = 0.5 * |26| = 13.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 13.

Итак, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным, и его площадь равна 13.