Докажите, что в равнобочной трапеции выполняются следующие утверждения:

1. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки;
2. Углы при каждом основании равны;
3. Диагонали равны;
4. Высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный средней линии;
5. Высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой - полуразности.

Геометрия 9 класс Равнобочная трапеция равнобочная трапеция доказательства геометрии свойства трапеции высоты трапеции углы основания трапеции равенство диагоналей средняя линия трапеции отрезки основания трапеции полусумма оснований полуразность оснований Новый

Давайте подробно разберем каждое из утверждений о равнобочной трапеции и докажем их.

1. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки.

Обозначим равнобочную трапецию ABCD, где AB – меньшее основание, CD – большее. Проведем высоты AH и BG из вершин A и B на основание CD. Поскольку трапеция равнобочная, стороны AD и BC равны и параллельны основаниям. Высоты AH и BG будут равны, и, поскольку они перпендикулярны основанию CD, отрезки CH и DG будут равны. Таким образом, CH = DG.

2. Углы при каждом основании равны.

В равнобочной трапеции углы при основании, например, угол A и угол B, равны, так как стороны AD и BC равны и параллельны. Углы, образованные этими параллельными сторонами и секущими (в данном случае AD и BC), равны по свойству углов при параллельных прямых. Аналогично, углы C и D также равны.

3. Диагонали равны.

В равнобочной трапеции диагонали AC и BD равны, так как треугольники ACD и BCD имеют равные стороны AD = BC и угол ACD = угол BCD. По признаку равенства треугольников (Сторона-Угол-Сторона) можно заключить, что AC = BD.

4. Высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный средней линии.

Средняя линия равнобочной трапеции определяется как отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим середины AD и BC как M и N соответственно. Средняя линия MN равна (AB + CD) / 2. Высота AH, проведенная из A, пересекает CD в точке H, и отрезок CH будет равен MN, поскольку CH и MN равны по свойству равнобочной трапеции.

5. Высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой - полуразности.

Обозначим отрезки, на которые высота AH делит основание CD, как CH и DG. Из предыдущих доказательств известно, что CH = DG. Полусумма оснований равна (AB + CD) / 2, а полуразность равна (CD - AB) / 2. Таким образом, CH будет равен (CD + AB) / 2, а DG будет равен (CD - AB) / 2. Поэтому высота AH делит основание CD на два отрезка, как и требовалось.

Таким образом, все утверждения о равнобочной трапеции доказаны. Каждое из свойств связано с симметрией и равенством сторон, что делает равнобочную трапецию уникальной фигурой в геометрии.