2024-12-15 09:13:50
Докажите, что в равнобочной трапеции выполняются следующие утверждения:
- Высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки;
- Углы при каждом основании равны;
- Диагонали равны;
- Высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный средней линии;
- Высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой - полуразности.
Геометрия9 классРавнобочная трапецияравнобочная трапециядоказательства геометриисвойства трапециивысоты трапецииуглы основания трапецииравенство диагоналейсредняя линия трапецииотрезки основания трапецииполусумма основанийполуразность оснований
2024-12-15 09:13:50
Давайте подробно разберем каждое из утверждений о равнобочной трапеции и докажем их.
1. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки.Обозначим равнобочную трапецию ABCD, где AB – меньшее основание, CD – большее. Проведем высоты AH и BG из вершин A и B на основание CD. Поскольку трапеция равнобочная, стороны AD и BC равны и параллельны основаниям. Высоты AH и BG будут равны, и, поскольку они перпендикулярны основанию CD, отрезки CH и DG будут равны. Таким образом, CH = DG.
2. Углы при каждом основании равны.В равнобочной трапеции углы при основании, например, угол A и угол B, равны, так как стороны AD и BC равны и параллельны. Углы, образованные этими параллельными сторонами и секущими (в данном случае AD и BC),равны по свойству углов при параллельных прямых. Аналогично, углы C и D также равны.
3. Диагонали равны.В равнобочной трапеции диагонали AC и BD равны, так как треугольники ACD и BCD имеют равные стороны AD = BC и угол ACD = угол BCD. По признаку равенства треугольников (Сторона-Угол-Сторона) можно заключить, что AC = BD.
4. Высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный средней линии.Средняя линия равнобочной трапеции определяется как отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим середины AD и BC как M и N соответственно. Средняя линия MN равна (AB + CD) / 2. Высота AH, проведенная из A, пересекает CD в точке H, и отрезок CH будет равен MN, поскольку CH и MN равны по свойству равнобочной трапеции.
5. Высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой - полуразности.Обозначим отрезки, на которые высота AH делит основание CD, как CH и DG. Из предыдущих доказательств известно, что CH = DG. Полусумма оснований равна (AB + CD) / 2, а полуразность равна (CD - AB) / 2. Таким образом, CH будет равен (CD + AB) / 2, а DG будет равен (CD - AB) / 2. Поэтому высота AH делит основание CD на два отрезка, как и требовалось.
Таким образом, все утверждения о равнобочной трапеции доказаны. Каждое из свойств связано с симметрией и равенством сторон, что делает равнобочную трапецию уникальной фигурой в геометрии.
