Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Известно, что отношение AM к MB равно 2:3, а отношение CM к MD равно 1:2. Длина отрезка AC составляет 3. Какова длина отрезка BD?

Геометрия 9 класс "Свойства хорд окружности геометрия 9 класс хорды окружности отношение отрезков задача по геометрии длина отрезка BD Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства пересекающихся хорд в окружности. Давайте обозначим:

• AM = 2x
• MB = 3x
• CM = y
• MD = 2y

Сначала найдем длины отрезков AB и CD:

• AB = AM + MB = 2x + 3x = 5x
• CD = CM + MD = y + 2y = 3y

Теперь воспользуемся свойством пересекающихся хорд, которое гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть:

AM MB = CM MD

Подставим наши значения:

2x 3x = y 2y

Это уравнение можно упростить:

6x² = 2y²

Разделим обе стороны на 2:

3x² = y²

Теперь мы знаем, что длина отрезка AC равна 3:

AC = AM + CM = 2x + y = 3

Теперь выразим y через x:

y = 3 - 2x

Подставим это значение в уравнение 3x² = y²:

3x² = (3 - 2x)²

Раскроем скобки:

3x² = 9 - 12x + 4x²

Переносим все в одну сторону:

0 = 4x² - 3x² - 12x + 9

0 = x² - 12x + 9

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-12)² - 4 1 9 = 144 - 36 = 108

Теперь найдем корни уравнения:

x = (12 ± √108) / 2

Упрощаем √108:

√108 = √(36 * 3) = 6√3

Тогда корни будут:

x = (12 ± 6√3) / 2 = 6 ± 3√3

Теперь подставим значение x, чтобы найти y:

Для x = 6 + 3√3:

y = 3 - 2(6 + 3√3) = 3 - 12 - 6√3 = -9 - 6√3 (отрицательное значение, не подходит)

Для x = 6 - 3√3:

y = 3 - 2(6 - 3√3) = 3 - 12 + 6√3 = -9 + 6√3 (тоже может быть отрицательным)

Теперь мы можем найти длину отрезка BD:

• BD = MB + MD = 3x + 2y

Подставим найденные значения x и y:

BD = 3(6 - 3√3) + 2(-9 + 6√3)

Теперь упрощаем:

BD = 18 - 9√3 - 18 + 12√3 = 3√3

Таким образом, длина отрезка BD составляет 3√3.