2025-02-06 11:04:56
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Известно, что отношение AM к MB равно 2:3, а отношение CM к MD равно 1:2. Длина отрезка AC составляет 3. Какова длина отрезка BD?
Геометрия 9 класс "Свойства хорд окружности геометрия 9 класс хорды окружности отношение отрезков задача по геометрии длина отрезка BD
2025-02-06 11:05:07
Для решения данной задачи мы будем использовать свойства пересекающихся хорд в окружности. Давайте обозначим:
- AM = 2x
- MB = 3x
- CM = y
- MD = 2y
Сначала найдем длины отрезков AB и CD:
- AB = AM + MB = 2x + 3x = 5x
- CD = CM + MD = y + 2y = 3y
Теперь воспользуемся свойством пересекающихся хорд, которое гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть:
AM * MB = CM * MDПодставим наши значения:
2x * 3x = y * 2yЭто уравнение можно упростить:
6x² = 2y²Разделим обе стороны на 2:
3x² = y²Теперь мы знаем, что длина отрезка AC равна 3:
AC = AM + CM = 2x + y = 3Теперь выразим y через x:
y = 3 - 2xПодставим это значение в уравнение 3x² = y²:
3x² = (3 - 2x)²Раскроем скобки:
3x² = 9 - 12x + 4x²Переносим все в одну сторону:
0 = 4x² - 3x² - 12x + 9 0 = x² - 12x + 9Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 1 * 9 = 144 - 36 = 108Теперь найдем корни уравнения:
x = (12 ± √108) / 2Упрощаем √108:
√108 = √(36 * 3) = 6√3Тогда корни будут:
x = (12 ± 6√3) / 2 = 6 ± 3√3Теперь подставим значение x, чтобы найти y:
Для x = 6 + 3√3:
y = 3 - 2(6 + 3√3) = 3 - 12 - 6√3 = -9 - 6√3 (отрицательное значение, не подходит)Для x = 6 - 3√3:
y = 3 - 2(6 - 3√3) = 3 - 12 + 6√3 = -9 + 6√3 (тоже может быть отрицательным)Теперь мы можем найти длину отрезка BD:
- BD = MB + MD = 3x + 2y
Подставим найденные значения x и y:
BD = 3(6 - 3√3) + 2(-9 + 6√3)Теперь упрощаем:
BD = 18 - 9√3 - 18 + 12√3 = 3√3Таким образом, длина отрезка BD составляет 3√3.
