Из точки А опущен перпендикуляр АО на плоскость α, точки В и С принадлежат плоскости α, ВО=1см, СО=7см, отрезок АВ на 4см меньше отрезка АС. Найдите длину перпендикуляра АО.

Геометрия 9 класс Перпендикуляры и расстояния в пространстве геометрия 9 класс перпендикуляр плоскость точки отрезки длина задача АО ВО СО АВ АС решение задачи свойства треугольников Теорема Пифагора Новый

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом! Это действительно увлекательно!

Итак, у нас есть:

• Точка A - это наша начальная точка.
• Точка O - это точка, в которой перпендикуляр АО пересекает плоскость α.
• Точки B и C находятся на плоскости α.
• Длина отрезка ВО = 1 см.
• Длина отрезка СО = 7 см.
• Отрезок АВ на 4 см меньше отрезка АС.

Теперь, если обозначить длину отрезка АВ как x, то длина отрезка АС будет x + 4 см.

Согласно условиям задачи, мы можем записать следующее уравнение:

• ВО = 1 см
• СО = 7 см
• АВ = x
• АС = x + 4 см

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольниках AOB и AOC, мы можем записать:

• AO^2 + BO^2 = AB^2
• AO^2 + CO^2 = AC^2

Подставим значения:

• AO^2 + 1^2 = x^2
• AO^2 + 7^2 = (x + 4)^2

Теперь у нас есть два уравнения. Давайте их решим!

Первое уравнение:

• AO^2 + 1 = x^2
• AO^2 = x^2 - 1

Второе уравнение:

• AO^2 + 49 = (x + 4)^2
• AO^2 + 49 = x^2 + 8x + 16
• AO^2 = x^2 + 8x + 16 - 49
• AO^2 = x^2 + 8x - 33

Теперь приравняем оба выражения для AO^2:

• x^2 - 1 = x^2 + 8x - 33

Упростим уравнение:

• -1 = 8x - 33
• 32 = 8x
• x = 4 см

Теперь подставим значение x обратно в одно из уравнений, чтобы найти AO:

• AO^2 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15
• AO = √15 см.

Ответ: Длина перпендикуляра AO равна √15 см, что примерно 3.87 см. Ура!