Из точки М проведен перпендикуляр МД, равный 6 см, к плоскости квадрата АВСД. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60º. Вопрос:

1. Докажите, что треугольники МАВ и МСВ являются прямоугольными;
2. Найдите сторону квадрата;
3. Найдите площадь треугольника АВД.

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники и площади фигур перпендикуляр треугольники прямоугольные квадрат угол сторона площадь геометрия доказательство МД МВ АВД Новый

Давайте разберем задачу по шагам и ответим на все вопросы.

1. Докажем, что треугольники МАВ и МСВ являются прямоугольными.

• Из условия задачи известно, что МД - это перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД. Это означает, что угол МДА равен 90 градусов.
• Также дано, что наклонная МВ образует угол 60º с плоскостью квадрата. Это значит, что угол МВА равен 60º.
• В треугольнике МАВ у нас есть угол МДА, равный 90º, и угол МВА, равный 60º. Следовательно, угол АМВ равен 30º (так как сумма углов треугольника равна 180º).
• Таким образом, треугольник МАВ является прямоугольным, так как в нем есть угол в 90º.

• Аналогично, рассмотрим треугольник МСВ. Угол МДС также равен 90º, так как МД - перпендикуляр к плоскости.
• Угол МСВ также равен 60º, следовательно, угол СМВ равен 30º.
• Таким образом, треугольник МСВ также является прямоугольным.

2. Найдем сторону квадрата.

• В треугольнике МАВ, который является прямоугольным, мы можем использовать определение тангенса угла. У нас есть угол МВА = 60º и противолежащая сторона (МД) равная 6 см.
• Тангенс угла 60º равен корень из 3. Таким образом, мы можем записать: tan(60º) = противолежащая сторона / прилежащая сторона.
• Обозначим сторону квадрата как a. Прилежащая сторона в нашем случае - это AM.
• Тогда: корень из 3 = 6 / AM. Отсюда AM = 6 / корень из 3.
• Но AM - это половина стороны квадрата, так как квадрат симметричен. Следовательно, сторона квадрата a = 2 * AM = 2 * (6 / корень из 3) = 12 / корень из 3.
• Упрощая, получаем a = 4 * корень из 3 см.

3. Найдем площадь треугольника АВД.

• Площадь треугольника можно вычислить по формуле: Площадь = 1/2 * основание * высота.
• В нашем случае основание - это сторона квадрата a, а высота - это перпендикуляр МД, равный 6 см.
• Таким образом, Площадь = 1/2 * (4 * корень из 3) * 6 = 12 * корень из 3 см².

Итак, мы доказали, что треугольники МАВ и МСВ являются прямоугольными, нашли сторону квадрата (4 * корень из 3 см) и вычислили площадь треугольника АВД (12 * корень из 3 см²).