Из вершины прямого угла треугольника ABC проведена высота. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCR, равен 96, а тангенс угла BAC равен 8/15. Каков радиус окружности, вписанной в треугольник ABC?

Геометрия 9 класс Вписанные и описанные окружности треугольника высота треугольника радиус вписанной окружности тангенс угла треугольник ABC геометрия 9 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что нам нужно найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, зная радиус окружности, вписанной в треугольник BCR, и тангенс угла BAC.

Шаг 1: Понимание задачи

Мы имеем треугольник ABC, где угол A является прямым. Высота из вершины A пересекает сторону BC в точке R. Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник BCR, равен 96, и тангенс угла BAC равен 8/15.

Шаг 2: Связь между радиусами окружностей

Радиус вписанной окружности (r) треугольника можно выразить через его площадь (S) и полупериметр (p) следующим образом:

r = S / p.

Также, для треугольника ABC, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности через его стороны:

r_ABC = (a + b + c) / (2 * p_ABC),

где a, b, c - стороны треугольника, а p_ABC - полупериметр треугольника ABC.

Шаг 3: Использование тангенса угла

Тангенс угла BAC равен отношению противолежащей стороны к прилежащей:

tan(BAC) = BC / AB = 8 / 15.

Это означает, что если мы примем AB = 15k и BC = 8k, то AC будет равен гипотенузе, которую можно найти по теореме Пифагора.

Шаг 4: Площадь и полупериметр треугольника ABC

Площадь треугольника ABC можно выразить как:

S_ABC = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 15k * 8k = 60k^2.

Полупериметр будет равен:

p_ABC = (AB + BC + AC) / 2 = (15k + 8k + AC) / 2.

Шаг 5: Нахождение радиуса окружности ABC

Теперь, зная радиус окружности треугольника BCR, мы можем выразить его через стороны и площадь:

r_BCR = S_BCR / p_BCR.

Поскольку радиус окружности BCR равен 96, и мы знаем, что:

r_ABC = r_BCR * (AB / BC) = 96 * (15 / 8).

Это дает нам:

r_ABC = 96 * 1.875 = 180.

Ответ: Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 180.